Задачи за окръжност и трапец - раздел Метрични зависимости

[bounty]

1з. Диаметърът на полукръг има дължина 2R и служи за голяма основа на трапец, вписан в полукръга. Ако в този трапец може да се впише окръжност, да се намери радиусът й.

2з. Около окръжност с радиус r е описан трапец ABCD. Ако M,N,P и Q са допирните точки на окръжността съответно със страните Ab, BC, CD и DA, да се докаже, че AM.BN.CP.DQ=r^4.

Моля спешно за решения на посочените две задачи. Благодаря много предварително!

[ganka simeonova]

1) Ползвай, че ако [tex]AB=2R; DC=b=>AB+DC=2AD=>AD=\frac{2R+b}{2 } ; AH=\frac{2R-b}{ 2} ; \angle ADB=90^\circ[/tex]
Ще ползваме метрични зависимости в правоъгълния триъгълник[tex]\Delta ADB[/tex]=>
[tex]AD^2=AH.AB=>b^2+8Rb-4R^2=0=>b=(2\sqrt{5} -4) R[/tex]
[tex]DH^2=AD^2-AH^2=>4r^2=2Rb=>r=...[/tex]

[ganka simeonova]

2)[tex]\Delta AJD; \Delta BJC[/tex]-правоъгълни и в тях радиусът на вписаната е височина. За двата ползваме метрични зависимости в прав. триъгълник:
[tex]JQ^2=AQ.QD; JN^2=CN.NB[/tex]-умножаваме двете равенства=>
[tex]r^4=xyzt[/tex]

[bounty]

Те са следните:

1з. Правоъгълен трапец ABCD с основи AB=a и CD=b е такъв, че в него може да се впише окръжност. Да се докаже, че центърът О и пресечната точка на диагоналите на трапеца определят права, която е успоредна на AD.

2з. В окръжност е вписан триъгълник ABC, в който AC=CB=a и AB=b. През B и C са построени допирателни, пресичащи се в т.D. На какви отсечки се разделя BC от AD?

[ganka simeonova]

2зад) Първа двойка подобни триъгълници:[tex]\Delta CBD; \Delta ABC=>CD=\frac{a^2}{ b}[/tex]
Втора двойка подобни триъгълници: [tex]\Delta CKD;\Delta BKA=>\frac{CK}{ KB} =\frac{CD}{AB } =\frac{a^2}{ b^2}[/tex]