Представяне на естествените числа чрез PI

[Добромир Глухаров]

Да се представи всяко от първите сто естествени числа с най-много четири употреби на числото [tex]\pi[/tex], като е забранена употребата на цифри, но могат да се използват знаците за алгебрични действия, произволен брой вложени скоби, както и квадратни скоби - [x] означава цялата част на х.
Например: [tex]1=[\sqrt{\pi}],\ 7=[{\pi}^{\sqrt{\pi}}][/tex].

[Добромир Глухаров]

Могат, разбира се, да се използват и знаците за четирите аритметични действия - произволен брой пъти.

[Станислав]

Първи въпрос - може ли всяко число до 100 да се представи?
Втори - мислиш ли, че някой ще се занимава с представяне на 100 числа? Айде, първите 20 - ОК, ама...

[Добромир Глухаров]

Първи въпрос - може ли всяко число до 100 да се представи?
Втори - мислиш ли, че някой ще се занимава с представяне на 100 числа? Айде, първите 20 - ОК, ама...

В сборника, където намерих задачата (Мартин Гарднер - "Математически развлечения"), пише, че някой си Фич Чини е намерил представянето на числата до 100. За съжаление е публикувано представянето само на първите 20 числа.

Аз и не очаквам някой да публикува всички решения - написах задачата просто, понеже ми се видя интересна. Лично аз допълних таблицата с числата от 21 до 25. Сега реших да опитам с числото 100, но още съм до никъде .

[Станислав]

За 100 ми дойде веднага - [tex](\lceil \pi \rceil)!(\lceil \pi \rceil )+ \lceil \pi \rceil[/tex]
ПП Ceil-а позволен ли е?

[Добромир Глухаров]

За 100 ми дойде веднага - [tex](\lceil \pi \rceil)!(\lceil \pi \rceil )+ \lceil \pi \rceil[/tex]
ПП Ceil-а позволен ли е?

Извинявай, не знам - как се дефинира [tex]\lceil x \rceil[/tex]?

Дали не се има предвид най-малкото цяло число, не по-малко от [tex]x[/tex]?

Ако е така, решението ти е вярно, но май в оригиналната задача не се споменава за "ceil" .

[dim]

Ако [tex]x\in R[/tex], [tex][x][/tex] е едонственото цяло число, закоето е изпълнено условието [tex][x]\le x\le [x]+1[/tex] или казано по друг начин [x] (чете се '"цяла част на [tex]x[/tex]") е най-голямото цяло число, което не превишава числото [tex]x[/tex].

[Добромир Глухаров]

Ако [tex]x\in R[/tex], [tex][x][/tex] е едонственото цяло число, закоето е изпълнено условието [tex][x]\le x\le [x]+1[/tex] или казано по друг начин [x] (чете се '"цяла част на [tex]x[/tex]") е най-голямото цяло число, което не превишава числото [tex]x[/tex].

Това за [x] го знам, но Станислав имаше предвид [tex]\lceil x \rceil[/tex].

[dim]

Извинявай, не бях прочел хубаво. Виж тук има инфо, че не ми се пише дефиниция пак: http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ ... _functions

[Добромир Глухаров]

Извинявай, не бях прочел хубаво. Виж тук има инфо, че не ми се пише дефиниция пак: http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ ... _functions

Благодаря, dim, за линка. Мисля, че си изясних нещата относно [tex]\lfloor x \rfloor[/tex] и [tex]\lceil x \rceil[/tex] .

[dgs]

Ако [tex]x\in R[/tex], [tex][x][/tex] е единственото цяло число, закоето е изпълнено условието [tex][x]\le x\le [x]+1[/tex] или казано по друг начин [x] (чете се '"цяла част на [tex]x[/tex]") е най-голямото цяло число, което не превишава числото [tex]x[/tex].

Има грешка така както си го написал [tex][x]\le x\le [x]+1[/tex]
Ако например x=2, то има две цели числа които удовлетворяват
[tex][x]\le x\le [x]+1[/tex]
и те са
[x]=1
[x]=2

[mkmarinov]

Неравенството отдясно е строго.

[WEBER]

Аз съм чувал за задача на Хич (но може Фич да е било), според която само с четири четворки и аритметичните действие може да се представи всяко едно цяло естествено число.

[martosss]

[tex]1= (\left[\pi \right]+\left[\pi \right][/tex][tex]-[/tex][tex]\left[\pi \right]):\left[\pi \right][/tex]
[tex]2= \left[\pi \right]!:\left[\pi \right]+\left[\pi \right]-\left[\pi \right][/tex]
[tex]3= \left[\pi \right]*\left[\pi \right]-\left[\pi \right]-\left[\pi \right][/tex]
[tex]4= \left[\pi \right]!-\left[\pi \right]+\left[\pi \right]:\left[\pi \right][/tex]
[tex]5= (\left[\pi \right]+\left[\pi \right]):\left[\pi \right]+\left[\pi \right][/tex]
[tex]6= \left[\pi \right]+\left[\pi \right]+\left[\pi \right]-\left[\pi \right][/tex]
[tex]7= \left[\pi \right]+\left[\pi \right]+\left[\pi \right]:\left[\pi \right][/tex]
[tex]8= \left[\pi \right]!+\left[\pi \right]-\left[\pi \right]:\left[\pi \right][/tex]
[tex]9= \left[\pi \right]!+\left[\pi \right]+\left[\pi \right]-\left[\pi \right][/tex]
[tex]10=\left[\pi \right]*\left[\pi \right]+\left[\pi \right]:\left[\pi \right][/tex]
[tex]11=\left[\pi \right]!+\left[\pi \right]!-\left[\pi \right]:\left[\pi \right][/tex]
[tex]12=\left[\pi \right]+\left[\pi \right]+\left[\pi \right]+\left[\pi \right][/tex]
[tex]13=\left[\pi \right]!+\left[\pi \right]!+\left[\pi \right]:\left[\pi \right][/tex]
[tex]14=\left[\sqrt{\left[\pi \right]!}\right]*(\left[\pi \right]!+\left[\pi \right]:\left[\pi \right])[/tex]
[tex]15=\left[\pi \right]+\left[\pi \right]+\left[\pi \right]*\left[\pi \right][/tex]
[tex]16=[\pi *\pi +\pi]+[\pi ][/tex]
[tex]17=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]-\left[\pi \right]:\left[\pi \right][/tex]
[tex]18=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]+\left[\pi \right]-\left[\pi \right][/tex]
[tex]19=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]+\left[\pi \right]:\left[\pi \right][/tex]
[tex]20=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]+[\sqrt{\left[\pi \right]}]+\sqrt{ \left[\pi \right]!}[/tex]
[tex]21=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]+\left[\pi \right]!-\left[\pi \right][/tex]
[tex]22=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]+\left[\pi \right]!-\left[\sqrt{\left[\pi \right]!}\right][/tex]
[tex]23=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}+\left[\sqrt{\left[\pi \right]!}\right]-\left[\pi \right]![/tex]
[tex]24=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}-\left[\sqrt{\left[\pi \right]!}\right]-\left[\sqrt{ \left[\pi \right]}\right][/tex]
[tex]25=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}-[\sqrt{\left[\pi \right]}]-\left[\sqrt{ \left[\pi \right]}\right][/tex]
[tex]26=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}-\left[\pi \right]:\left[\pi \right][/tex]
[tex]27=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}+\left[\pi \right]-\left[\pi \right][/tex]
[tex]28=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}+\left[\pi \right]:\left[\pi \right][/tex]
[tex]29=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}+[\sqrt{\left[\pi \right]}]+[\sqrt{ \left[\pi \right]}][/tex]
[tex]30=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}+[\sqrt{ \left[\pi \right]}]+[\sqrt {\left[\pi \right]!}][/tex]
[tex]31=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}+[\sqrt {\left[\pi \right]!}]+[\sqrt {\left[\pi \right]!}][/tex]
[tex]32=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}+[\sqrt {\left[\pi \right]!}]+\left[\pi \right][/tex]
[tex]33=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}+\left[\pi \right]+\left[\pi \right][/tex]
[tex]34=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]!-[\sqrt {\left[\pi \right]!}]-[\sqrt {\left[\pi \right]!}][/tex]
[tex]35=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]!-\left[\pi \right]:\left[\pi \right][/tex]
[tex]36=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]!+\left[\pi \right]-\left[\pi \right][/tex]
[tex]37=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]!+\left[\pi \right]:\left[\pi \right][/tex]
[tex]38=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]!+[\sqrt {\left[\pi \right]}]+[\sqrt \pi ][/tex]
[tex]39=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]!+[\sqrt {\left[\pi \right]!}]+[\sqrt {\pi }][/tex]
[tex]40=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]!+[\sqrt {\left[\pi \right]!}]+[\sqrt {\left[\pi \right]!}][/tex]
[tex]41=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]!+[\sqrt {\left[\pi \right]!}]+\left[\pi \right][/tex]
[tex]42=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]!+\left[\pi \right]+\left[\pi \right][/tex]
[tex]43=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]!+\left[\pi \right]!+[\sqrt \pi ][/tex]
[tex]44=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]!+\left[\pi \right]!+[\sqrt {\left[\pi \right]!}][/tex]
[tex]45=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]!+\left[\pi \right]!+\left[\pi \right][/tex]
[tex]46=\left[\pi^{\pi}+\pi *\pi\right][/tex]
[tex]47=\left[[\pi ]!*\left([\pi ]!+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]\right)\right]-\left[\sqrt{\pi }\right][/tex]
[tex]48=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]*\left[\pi \right]-\left[\pi \right]![/tex]
[tex]49=\left[[\pi ]!*\left([\pi ]!+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]\right)\right]+\left[\sqrt{\pi }\right][/tex]
[tex]50=\left[[\pi ]!*\left([\pi ]!+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]\right)\right]+[\pi ][/tex]
[tex]51=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]*\left[\pi \right]-\left[\pi \right][/tex]
[tex]52=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]*\left[\pi \right]-[\sqrt {\left[\pi \right]!}][/tex]
[tex]53=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]*\left[\pi \right]-[\sqrt {\pi }][/tex]
[tex]54=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]!+\left[\pi \right]!*\left[\pi \right][/tex]
[tex]55=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]*\left[\pi \right]+[\sqrt {\pi }][/tex]
[tex]56=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]*\left[\pi \right]+[\sqrt {\left[\pi \right]!}][/tex]
[tex]57=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]*\left[\pi \right]+\left[\pi \right][/tex]
[tex]58=\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]*\left([\pi ]^{[\pi ]}+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]\right)[/tex]
[tex]59=\left[[\pi ]!*[\pi ]*\pi\right] +[\pi ][/tex]
[tex]60=\left[\pi \right]!*\left[\pi \right]*\left[\pi \right]+\left[\pi \right]![/tex]
[tex]61=\left[[\pi ]!*\pi *\pi \right]+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right][/tex]
[tex]62=\left[[\pi ]!*[\pi ]*\pi\right] +[\pi ]![/tex]
[tex]63=\left[[\pi ]^{\pi }\right]*\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]+\left[\sqrt \pi \right][/tex]
[tex]64=\left([\pi ]!+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]\right)*\left([\pi ]!+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]\right)[/tex]
[tex]65=\left[[\pi ]^{\pi }*\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]\right]+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right][/tex]
[tex]66=\left[[\pi ]^{\pi }*\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]\right]+[\pi ][/tex]
[tex]67=([\pi ]!+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right])^{\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]}+\left[\pi \right][/tex]
[tex]68=([\pi ]!*[\pi ]!-\left[\sqrt{[\pi ]!}\right])*\left[\sqrt{[\pi ]!}\right][/tex]
[tex]69=[\pi ]!*[\pi ]!*\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]-\left[\pi \right][/tex]
[tex]70=\left([\pi ]!*[\pi ]!-\left[\sqrt {\pi }\right]\right)*\left[\sqrt{[\pi ]!}\right])[/tex]
[tex]71=[\pi ]!*[\pi ]!*\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]-\left[\sqrt{\pi }\right][/tex]
[tex]72=[\pi ]!*[\pi ]!*\left([\pi ]-\left[\sqrt{\pi }\right]\right)[/tex]
[tex]73=[\pi ]!*[\pi ]!*\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]+\left[\sqrt{\pi }\right][/tex]
[tex]74=([\pi ]!*[\pi ]!+\left[\sqrt{\pi }\right])*\left[\sqrt{[\pi ]!}\right][/tex]
[tex]75=(\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}-\left[\sqrt{[\pi ]!}\right])*\left[\pi \right][/tex]
[tex]76=([\pi ]!*[\pi ]!+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right])*\left[\sqrt{[\pi ]!}\right][/tex]
[tex]77=\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\pi }}}}*\left\([\pi ]!+[\pi ]!\right\)*[\pi ][/tex][tex]\color{red}![/tex][tex]][/tex]
[tex]78=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}*\left[\pi \right]-\left[\pi \right][/tex]
[tex]79=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}*\left[\pi \right]-\left[\sqrt{[\pi ]!}\right][/tex]
[tex]80=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}*\left[\pi \right]-\left[\sqrt{\pi }\right][/tex]
[tex]81=\left[\pi \right]*\left[\pi \right]*\left[\pi \right]*\left[\pi \right][/tex]
[tex]82=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}*\left[\pi \right]+\left[\sqrt{\pi }\right][/tex]
[tex]83=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}*\left[\pi \right]+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right][/tex]
[tex]84=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}*\left[\pi \right]+\left[\pi \right][/tex]
[tex]85=\left[[\pi ]^{[\pi ]}*\pi\right] +\left[\sqrt{[\pi ]}\right][/tex]
[tex]86=\left[[\pi ]^{[\pi ]}*\pi\right] +\left[\sqrt{[\pi !]}\right][/tex]
[tex]87=\left[\pi \right]^{\left[\pi \right]}*\left[\pi \right]+[\pi ]![/tex]
[tex]88=\left[\pi *\pi *\left([\pi ]*[\pi ]\right)\right][/tex]
[tex]89=\left[\left([\pi ]+\sqrt\pi \right)\left([\pi ]!*\pi\right)\right][/tex]
[tex]90=\left[[\pi ]^{\pi }\right]*[\pi ]-[\pi ][/tex]
[tex]91=\left[[\pi ]^{\pi }\right]*[\pi ]-\left[\sqrt{[\pi ]!}\right][/tex]
[tex]92=\left[[\pi ]^{\pi }\right]*[\pi ]-\left[\sqrt \pi \right][/tex]
[tex]93=\left[\pi*\pi*\pi*\left[\pi\right]\right][/tex]
[tex]94=\left[\left([\pi ]^{[\pi ]}+\pi \right)*\pi \right][/tex]
[tex]95=\left[[\pi ]^{\pi }\right]*[\pi ]+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right][/tex]
[tex]96=\left([\pi ]!+[\pi ]!\right)\left([\pi ]!+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right]\right)[/tex]
[tex]97=\left[\pi *\pi *\pi *\pi \right][/tex]
[tex]98=\left[[\pi ]^{\pi }*\pi\right] -\left[\sqrt{\pi }\right][/tex]
[tex]99=\left[\left[[\pi]^{\pi}\right]*\pi\right]+\left[\sqrt{[\pi ]!}\right][/tex]
[tex]100=\left[[\pi ]^{\pi }*\pi\right] +\left[\sqrt{\pi }\right][/tex]

Като цяло трябва да знаем следното:
С едно п може да се напишат
1=[tex]\left[\sqrt{ \pi }\right][/tex]
1.77=[tex]\sqrt{\pi}[/tex]
2=[tex]\left[\sqrt{[\pi ]!}\right][/tex]
3
3.14=[tex]\pi[/tex]
6=[tex][\pi ]![/tex]

С две п-та могат да се напишат:
числата от 1 до 9
12=6+6
18=3*6
27=3?
31=[tex]\left[3^{\pi}\right][/tex]
31 и нещо - горното без цялата част
36=6?

Може да ме проверите ако искате
Утре може да напиша "съкратените варианти" на тези записи, защото така е яко меле :]

Най-много ме затрудниха 89, 77, числата около 60 също

Идеята на това представяне е да хванеш кои числа можеш да изобразиш с 1п, кои числа можеш с 2п, с 3п, след което комбинираш...

[Martin Nikovski]

Извинявам се много - не съм наясно много с тази част от математиката:
Но, доколкото разбрах: [tex][x][/tex] означава "цялата част на числото [tex]x[/tex]", нали?
Тогава според martosss [tex]([\pi ]+[\pi ]+[\pi ]):[\pi] =1[/tex]???
Според моите пресмятания: [tex]([\pi ]+[\pi ]+[\pi ]):[\pi] =(3+3+3):3 =3[/tex]
Още веднъж се извинявам, ако не съм прав...

[allier]

Имал е предвид единият плюс да е минус.

[Martin Nikovski]

ОК.

[allier]

На мен пък 77 не ми излиза така, както е написано...

[martosss]

Липсва и един факториел, за да стане умножено по 2
Всъщност
с 1 п може да се напише 1 2 3 п 6.
с 2 числа могат да се представят числата от 1 до 9, както и числата
18(3*6), 36(6*6),
С тяхна помощ ±9 могат да се представят числата от 1 до 45.
Оттук нататък се действа през 3 или с конкретния случай... но при положение, че можем да използваме корен квадратен колкото си искаме, не мисля, че представянето на тези числа ще е проблем
77 си го изсмуках от пръстите, както виждате този корен шестнадесети...
Стойностите съм ги смятал с калкулатор, дано да са верни.