Прости множители.

[Петър Евгениев]

Разложете [tex]2^{18}+1[/tex] на прости множители.

[Добромир Глухаров]

Да започнем с по-лесното:

$2^{18}+1=(2^6+1)(2^{12}-2^6+1)=(2^2+1)(2^4-2^2+1)(4096-64+1)=5.13.4033$

По-трудно е да забележим, че $[(2^n-1)^2+2^{2n}][2^{2n}+(2^n+1)^2]=2^{2n}(2^n-1)^2+2^{4n}+(2^{2n}-1)^2+2^{2n}(2^n+1)^2=$

$=2^{2n}(2^{2n+1}+2)+2^{4n}+2^{4n}-2^{2n+1}+1=2^{4n+1}+2^{2n+1}+2^{4n+1}-2^{2n+1}+1=2^{4n+2}+1$

За $n=4$ имаме:

$2^{18}+1=2^{4.4+2}+1=[(2^4-1)^2+2^8][2^8+(2^4+1)^2]=(15^2+256)(256+17^2)=481.545=481.5.109$

Следователно 4033 има за множител 109 - просто число.

4033:109=37

$2^{18}+1=5.13.37.109$

[Петър Евгениев]

Да започнем с по-лесното:

$2^{18}+1=(2^6+1)(2^{12}-2^6+1)=(2^2+1)(2^4-2^2+1)(4096-64+1)=5.13.4033$

По-трудно е да забележим, че $[(2^n-1)^2+2^{2n}][2^{2n}+(2^n+1)^2]=2^{2n}(2^n-1)^2+2^{4n}+(2^{2n}-1)^2+2^{2n}(2^n+1)^2=$

$=2^{2n}(2^{2n+1}+2)+2^{4n}+2^{4n}-2^{2n+1}+1=2^{4n+1}+2^{2n+1}+2^{4n+1}-2^{2n+1}+1=2^{4n+2}+1$

За $n=4$ имаме:

$2^{18}+1=2^{4.4+2}+1=[(2^4-1)^2+2^8][2^8+(2^4+1)^2]=(15^2+256)(256+17^2)=481.545=481.5.109$

Следователно 4033 има за множител 109 - просто число.

4033:109=37

$2^{18}+1=5.13.37.109$

Аз пък си мисля, че хем ще ви затрудня хем ще е забавна математика хаха.
Точно това е отговора много ми харесва задачата и затова я пуснах.
П.С. Аз я реших с по-лесното както казвате.