Единица

[Добромир Глухаров]

Задача: Изразете числото 1, употребявайки по веднъж всяка от десетте цифри.

Скрит текст: покажи

Забележка: Задачата има както чисто аритметични, така и алгебрични решения, но според мен най-трудно е да се представи единицата като сума от дроби.

[pal702004]

$23456789\cdot 0+1$

$123456789^0$

[aifC]

[tex]k_1=M+1[/tex]

[tex]\frac1{k_1}+\frac1{k_2}+\cdots+\frac1{k_{n+1}}\le1[/tex];

[tex]\begin{array}{rl}k_1:=&M+1\\k_{n+1}:=&\min\lbrace m\in\mathbb N|\text{ }m>k_n\text{ and } \frac1{k_1}+\frac1{k_2}+\cdots+\frac1{k_{n}}+\frac1m\le1\rbrace=\\=&\max\left\lbrace\left\lceil(1-\frac1{k_1}-\frac1{k_2}-\cdots-\frac1{k_{n}})^{-1}\right\rceil,k_n+1\right\rbrace\end{array}[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]k_1=M+1[/tex]

[tex]\frac1{k_1}+\frac1{k_2}+\cdots+\frac1{k_{n+1}}\le1[/tex];

[tex]\begin{array}{rl}k_1:=&M+1\\k_{n+1}:=&\min\lbrace m\in\mathbb N|\text{ }m>k_n\text{ and } \frac1{k_1}+\frac1{k_2}+\cdots+\frac1{k_{n}}+\frac1m\le1\rbrace=\\=&\max\left\lbrace\left\lceil(1-\frac1{k_1}-\frac1{k_2}-\cdots-\frac1{k_{n}})^{-1}\right\rceil,k_n+1\right\rbrace\end{array}[/tex]

Брилянтен запис и аз се извинявам, че не бях ясен - става въпрос не за различни числа, а за десетте различни цифри. (Някои цифри могат да образуват многоцифрено число - както в числител, така и в знаменател.)

[Добромир Глухаров]

От известните ми решения остана само едно, което pal702004 не е публикувал - това, представящо единицата като сума от правилни прости дроби, в чийто запис десетте цифри участват по веднъж. Мисля да оставя още време на четящите да отговорят, но ако някой е любопитен, може да ми пише на ЛС.
Сигурно има и друго решение в дроби, освен известното ми. Ще се радвам да споделите всякакви идеи.

Edit: Вече стигнах до три варианта на решението с дроби - оказа се, че не е чак толкова трудно да се намерят и дори е приятно да се търсят. Ако не си изгубя листа, на който съм ги записал, когато кажете - ще ги публикувам.

[KOPMOPAH]

Например $0+1+\frac{3!}{2!}-\frac{5!}{4!}-\frac{7!}{6!}+\frac{9!}{8!}$ и вариантите му с $V^{n-1}_n$ и $C^{n-1}_n$

[Добромир Глухаров]

Например $0+1+\frac{3!}{2!}-\frac{5!}{4!}-\frac{7!}{6!}+\frac{9!}{8!}$ и вариантите му с $V^{n-1}_n$ и $C^{n-1}_n$

За такава хватка нямаше да се сетя. Браво!

[pal702004]

Варианти има много, особенно с отбиване на номера, каквито бяха моите. Може и като едно на степен (с участието на другите цифри) - също отбиване на номера, може и само с плюс и минус (сбора на положителните да е 23, на отрицателните съответно 22). С дроби ще е по-забавно, да.

[Добромир Глухаров]

Ето решението, дадено от Перелман в "Жива матаматика": $\frac{148}{296}+\frac{35}{70}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Стигнах до още две подобни, но все са от вида $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Не успях да намеря например от вида $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$. Може би изобщо няма такива?

[ева]

А може ли така:

0+1-7+8+[tex]\frac{5}{4}[/tex]-[tex]\frac{3}{2}[/tex].[tex]\frac{9}{6}[/tex]

[Добромир Глухаров]

$\fbox{\frac{45}{90}+\frac{138}{276}=1}$

$\fbox{\frac{2}{4}+\frac{3079}{6158}=1}$