Къде ли ...

[KOPMOPAH]

... е грешката?$$-1=(-1)^{\displaystyle\frac 22}=\left(\left (-1\right)\displaystyle ^2\right)^{\displaystyle\frac 12}=1^{\displaystyle \frac 12}=\sqrt 1=1$$

[S.B.]

... е грешката?$$-1=(-1)^{\displaystyle\frac 22}=\left(\left (-1\right)\displaystyle ^2\right)^{\displaystyle\frac 12}=1^{\displaystyle \frac 12}=\sqrt 1=1$$

Ама ние в училище сме учили,че [tex]\sqrt{1} = \pm 1[/tex] , а не $\sqrt{1} = 1 $

[Davids]

... е грешката?$$-1=(-1)^{\displaystyle\frac 22}=\left(\left (-1\right)\displaystyle ^2\right)^{\displaystyle\frac 12}=1^{\displaystyle \frac 12}=\sqrt 1=1$$

Mдааа, това ми беше едно от любимите нови неща от встъпателния курс първата година в института.
Принципно, на много места се среща използваната от теб обща дефиниция на дробните степени:
Ако $x\in\R$ и $m, n \in \N$, то $x^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{x^m}$

Обаче има една подробност, която води именно демонстрирания парадокс, а именно: какво праим, ако $m$ е четно?
За интуитивна помощ се позоваваме на правило, което за щастие са ни набивали достатъчно и в училищните класове, а именно, че:
Ако $x\in \R$, $m\in\N$ и $m$ е четно, то $\sqrt[m]{x^m} = |x|$
Което много тормозеше хората и водеше до грешки при решаването на ирационални уравнения/неравенства например...

И това в крайна сметка ни помага да си коригираме дефиницията на рационално степенуване, добавайки тънкия детайл:
Ако $x\in\R$ и $m, n \in \N$, то $x^\frac{m}{n} = sgn(x)\sqrt[n]{|x|^m}$

Разбира се, формулировки много и еквивалентни, но на мен лично тази ми е най-интуитивна (фенче съм на използването на $sgn$ функцията)

За пълнота, ще е хубаво да упоменем все пак какво значи тази функция:
$sgn: \R\to\{-1, 0, 1\}, ~~x\mapsto \begin{cases}-1, \text{ за } x < 0 \\ 0, \text{ за } x = 0 \\ 1, \text{ за } x > 0 \end{cases}$

Та, прилагайки новата дефиниция, получаваме правилното:
$-1 = (-1)^\frac{2}{2} = sgn(-1)\sqrt[2]{|-1|^2} = -\sqrt[2]{1} = -1$

[S.B.]

... е грешката?$$-1=(-1)^{\displaystyle\frac 22}=\left(\left (-1\right)\displaystyle ^2\right)^{\displaystyle\frac 12}=1^{\displaystyle \frac 12}=\sqrt 1=1$$

След класическото доказателство на Davids,аз ще подхоя по- простичко:

[tex]-1 = ( - 1)^{1} = (- 1)^{\displaystyle\frac{2}{2}} = (( - 1)^{2})^{\displaystyle\frac{1}{2}} = \sqrt{(- 1)^{2}} = -1[/tex]

[Sup3rlum]

$-1=e^{i\pi}=(e^{i\pi})^1=(e^{i\pi})^{\frac{2}{2}}=(e^{2i\pi})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e^{2i\pi}}=\sqrt{e^{2i\pi k }}=...$

Грешката очевидно е, че в училище не учат за branch cut на функцията $\sqrt{z}$