Интересна задачка

[Masterkiller]

Ако [tex]a_1<10[/tex] е естествено число и [tex]d=10[/tex] са съответно първия член и разликата на безкрайна аритметична прогресия, да се намери за кои [tex]a_1[/tex], прогресията не съдържа числа, които имат точен корен (тоест при коренуване с корен втори да не се получава цяло число).

[martin.nikolov]

Само [tex]a_1=2[/tex].

[Masterkiller]

Не е само, има още 3 решения. Иначе [tex]a_1=2[/tex] е вярно.

[martin.nikolov]

Не е само, има още 3 решения. Иначе [tex]a_1=2[/tex] е вярно.

Да, вярно. Грешка в сметките. Също и 3, 7, 8.

[martin123456]

[tex]a_{n+1}=a_1+10n,\hspace{2mm}n \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]n=1 \Rightarrow a_2=a_1+10 \Rightarrow a_1 \ne 6[/tex]
[tex]n=2 \Rightarrow a_3=a_1+20 \Rightarrow a_1 \ne 5[/tex]
[tex]n=4 \Rightarrow a_5=a_1+40 \Rightarrow a_1 \ne 9[/tex]
[tex]n=6 \Rightarrow a_7=a_1+60 \Rightarrow a_1 \ne 4[/tex]
[tex]n=8 \Rightarrow a_9=a_1+80 \Rightarrow a_1 \ne 1[/tex]
остават следните възможни стойности за [tex]a_1:\hspace{2mm}a_1 \in \{2,3,7,8\}[/tex](1).
Тък като от дефиницията на рекурентната редица имаме [tex]a_{n+1} \equiv a_1 (mod 10)[/tex], а за [tex]x \in \mathbb{N} \Rightarrow x^2 \in \{0,1,4,5,6,9\}[/tex], то ако допуснем че [tex]a_{n+1}[/tex] е точен квадрат [tex]\Rightarrow a_1 \equiv a_{n+1} \equiv x \in \{0,1,4,5,6,9\} (mod 10)[/tex]. но от (1) това не е вярно.

[Станислав]

Всички [tex]a_{1}[/tex], които са квадратични неостатъци по модул 10 - 2,3,7,8.

[Masterkiller]

2, 3, 7, 8 са верните решения.
Задачата може да се реши и логически. Всеки член на редиците завършва на едно и също число (1-9). Като се провери, че при умножение на едно цяло число, което завършва с 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, втората му степен завършва на 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 съответно (тъй като при метода за умножение първото число не получава нищо наум). Тъй като корен втори е обратното на втора степен, само числа завършващи на 0, 1, 4, 5, 6 и 9 имат точен корен -> 2, 3, 7, 8 нямат. a1 е от 1 до 9 -> 2, 3, 7 и 8 са решения.
Интересно ми беше математическото доказателство

[Станислав]

[tex]a^2 \equiv 1,4,5,6,9,0 (mod 10)\Rightarrow[/tex] всички числа, завършващи на 2,3,7,8, не могат да бъда точни квадрати. Сега остава да видим, че в останалите случаи имаме точни квадрати - 1,4,9,16,25, с което задачата е решена. Често казано, тази задача не е забавна по нито един параграф, а е по-скоро тривиална, но явно те е трогнала някак си и затова си я пуснал в този форум.

[mkmarinov]

Щеше да бъде тривиална ако този материал се изучаваше.

[Станислав]

Струва ми се, че ако не го бях записал с [tex]mod[/tex] щеше да го разбере и петокласник, но ОК...

[mkmarinov]

Разбира се, че ще го разбере.
Но колко често се споменава "квадратичен остатък" в час?