Интересна задача

[rashi101]

Сферична,триизмерна планета има център с координати (0,0,0) и радиус 20. Всяка точка (x,y,z) от повърхността на планетата има температура [tex]T(x,y,z):=(x+y)^2+(y-z)^2[/tex]. Каква е средната температура на повърхността на планетата?

[kerry]

[tex]T_{med}:=\frac{1}{S}\int\!\!\!\int_{S} T(x,y,z) \, d S[/tex]

[tex]S=4 \pi r^2[/tex]

Минаваме в сферични координати

[tex]x=r \, sin \varphi \, cos \theta[/tex]
[tex]y=r \, sin \varphi \, sin \theta[/tex]
[tex]z=r \, cos \varphi[/tex]

[tex]S : \left\{\begin{matrix}
r=20\\
0<\theta<2 \pi \\
0< \varphi < \pi
\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]dS = r^2 \, sin \varphi \, d \theta \, d \varphi[/tex]

Заместваме x, y и z във T(x,y,z) и получаваме функцията [tex]T( \theta , \varphi )= (r \, sin \varphi \, cos \theta+r \, sin \varphi \, sin \theta)^2+(r \, sin \varphi \, sin \theta-r \, cos \varphi)^2[/tex]

[tex]t_{med} := \frac{1}{4 \pi} \int _{0} ^{\pi} \, \, \int _{0} ^{2 \pi} T( \theta , \varphi) \, sin \varphi \, d \theta \, d \varphi[/tex]

[kerry]

Ако не съм объркал в сметките, средната температура е пропорционална на [tex]\frac{4r^2}{3}[/tex]

При r=20 (някакви мерни единици за дължина) това прави приблизително 533 някакви мерни единици за температура.

От къде е задачата?

[rashi101]

http://www.amazon.com/Art-Craft-Problem-Solving/dp/0471789011/ref=dp_ob_title_bk

Уау, хубаво решение Сферични координати (липсваща емотиконка - пишещата гледа с голям респект и уважение, тъй като за такива неща едва е чувала, а и да беше, нямаше и през ум да и мине да ги използва). И аз получих 533 1/3, но въобще не бях сигурна за отговора (в книгата задачите не са решени ). Разсъждавах горе-долу така: групирах заедно точките с координати [tex](x,y,z)[/tex], [tex](y,z,x)[/tex] и [tex](z,x,y)[/tex]. Например точките с координати [tex](5\sqrt{3} ,10,15)[/tex], [tex](10,15,5\sqrt{3} )[/tex] и [tex](15,5\sqrt{3} ,10)[/tex] образуваха една група, както и точките [tex](20,0,0)[/tex], [tex](0,0,20)[/tex] и [tex](0,20,0)[/tex]. Средната температура за всяка група е [tex]\frac{4(x^2 + y^2 + z^2)}{3}=\frac{1600}{3}[/tex], тъй като [tex]x^2 + y^2 + z^2=r^2[/tex]. Точките с координати [tex]( \frac{20\sqrt{3}}{3}, \frac{20\sqrt{3}}{3}, \frac{20\sqrt{3}}{3})[/tex] и [tex]( -\frac{20\sqrt{3}}{3}, -\frac{20\sqrt{3}}{3}, -\frac{20\sqrt{3}}{3})[/tex] не могат да бъдат поставени в никоя група, но тяхната температура и без друго е [tex]\frac{1600}{3}[/tex]. От което би трябвало да следва, че средната температура на повърхността на планетата е [tex]\frac{1600}{3}[/tex]. Правилно ли разсъждавам?

[mkmarinov]

Правилно разсъждаваш, но мисля, че трябва да направиш групите така, че точки от една група да не влизат в друга група. Т.е. групите да са от по 6 елемента (xyz-xzy-yxz-yzx-zxy-zyx), минаващи през всяка пермутация на х у и z. Резултатът, разбира се, е същият .

[rashi101]

Мина ми през ума, че нещо бъркам... но всъщност пермутациите образуват точно две групи: (x,y,z)(y,z,x)(z,x,y) и (x,z,y)(z,y,x)(y,x,z). Пък и ако ги групирах по шест елемента, точките от типа на (10?2,10,10) щяха да създават проблеми, тъй като при тях пермутациите са само три.

[kerry]

Уау. Коя е първата дума в условието на задачата?

Свалям шапка за труда с пермутациите.

За всеки случай ще си проверя сметките, все пак става въпрос за непозната планета.