Тримина в квадрат

[Jack]

Тримино наричаме фигура състояща се от $3$ квадратчета, приличаща на буквата Г. Даден е квадрат $2^{n}$ на $2^{n}$ квадратчета, където $n$ е положително естествено число. Всички квадратчета са в червен цвят, освен едно, което е в син цвят. Докажете, че при всяко естествено число $n$, ще е възможно да покрием червената получена част от тримина.

-------------------
Задачата е интересна. Скоро ще публикувам мое решение. Ще се радвам да видия и други решения. Раздела Забавна Математика ми се видя най-подходящ.

[peyo]

Тримино наричаме фигура състояща се от $3$ квадратчета, приличаща на буквата Г. Даден е квадрат $2^{n}$ на $2^{n}$ квадратчета, където $n$ е положително естествено число. Всички квадратчета са в червен цвят, освен едно, което е в син цвят. Докажете, че при всяко естествено число $n$, ще е възможно да покрием червената получена част от тримина.

-------------------
Задачата е интересна. Скоро ще публикувам мое решение. Ще се радвам да видия и други решения. Раздела Забавна Математика ми се видя най-подходящ.

Да видим дали въобще може да има решение. За да може да има решение броят на червените квадратчета трябва да се дели на 3.
$2^n2^n-1$

$(2^{n})^2-1$

Pierre de Fermat през 1640г е измислил следната малка теорема:
If p is a prime and a is any integer not divisible by p, then $a^{p − 1} − 1$ is divisible by p.

В нашия случай:
$p=3, а=2^{n}$
3 е просто и $2^n$ не се дели на 3 защото е $2*2*2*...*2$. Следва $2^n2^n-1$ се дели на 3 и задачата е възможно да има решение.

[Jack]

Тримино наричаме фигура състояща се от $3$ квадратчета, приличаща на буквата Г. Даден е квадрат $2^{n}$ на $2^{n}$ квадратчета, където $n$ е положително естествено число. Всички квадратчета са в червен цвят, освен едно, което е в син цвят. Докажете, че при всяко естествено число $n$, ще е възможно да покрием червената получена част от тримина.

-------------------
Задачата е интересна. Скоро ще публикувам мое решение. Ще се радвам да видия и други решения. Раздела Забавна Математика ми се видя най-подходящ.

Да видим дали въобще може да има решение. За да може да има решение броят на червените квадратчета трябва да се дели на 3.
$2^n2^n-1$

$(2^{n})^2-1$

Pierre de Fermat през 1640г е измислил следната малка теорема:
If p is a prime and a is any integer not divisible by p, then $a^{p − 1} − 1$ is divisible by p.

В нашия случай:
$p=3, а=2^{n}$
3 е просто и $2^n$ не се дели на 3 защото е $2*2*2*...*2$. Следва $2^n2^n-1$ се дели на 3 и задачата е възможно да има решение.

Моето решение е да разделим квадрата $2^{n}$ на $2^{n}$ на четири квадратчета с размер $2^{n - 1}$ на $2^{n - 1}$. От там нататък като знаем, че със сигурност при $n = 1$ има решение, нататък е лесно.