Задачи народно творчество

[amalker]

На въпроса „Колко е часът?” бил даден следния отговор:
„Половината от времето, което е минало остава.” Колко е часът? - Мисля, че отговора е 12ч. дали съм на прав път?

[ammornil]

На въпроса „Колко е часът?” бил даден следния отговор:
„Половината от времето, което е минало остава.” Колко е часът? - Мисля, че отговора е 12ч. дали съм на прав път?

минало е време [tex]2x[/tex] часа и остават [tex]x[/tex] от деноношието. [tex]2x+x=24 \Rightarrow x=8 \Rightarrow[/tex] часът е 4 след обяд ([tex]16:00[/tex]).

[amalker]

Задача 1. Кога е по-изгодно да се пазарува – когато отначало цените се повишат с 10% и след това се намалят с 10% или когато, отначало цените се намалят с 10% и след това се увеличат с 10%.? Защо?

Задача 2. За услугата пощата взема една десета от преведената сума. На каква стойност е превода, ако след заплащане на услугата гражданинът получава 99 лeва?

Задача 3. От четирима дарители вторият дал два пъти повече от първия, третият – три пъти повече от втория, четвъртият – четири пъти повече от третия, а заедно дали 132 лири. Колко е дал първият?

Моля за помощ с тези задачи.

[Jack]

Задача $1$

Нека първоначалната цена на продукта е $x$ лв.

$1)$ Първо да се повиши, а след това да се намали с $10 \%$.

След повишаването цената е станала $\frac{110}{100}x$, а след намалението $\frac{90}{100} \frac{110}{100} x = \frac{9}{10} \frac{11}{10} x = \frac{99}{100}x = 99 \% x$.

$2)$ Първо да се намали, а след това да се повиши с $10 \%$.

След намалението цената е станала $\frac{90}{100}x$, а след повишаването $\frac{110}{100} \frac{90}{100} x = \frac{11}{10} \frac{9}{10} x = \frac{99}{100}x = 99 \% x$.

[tex]\Rightarrow[/tex] Няма значение кога ще купим продукта.

[ammornil]

Задача 1. Кога е по-изгодно да се пазарува – когато отначало цените се повишат с 10% и след това се намалят с 10% или когато, отначало цените се намалят с 10% и след това се увеличат с 10%.? Защо?

(задачата вече е решена кратко и ясно по-горе от Jack, аз предлагам по-просторно решение)

Нека продуктът има начална (базова цена) от [tex]p_{0}[/tex] лева.
В първия случай, цената се повишава с 10% и след това се намалява с 10%.
[tex]p_{11}=p_{0}+\frac{10}{100}.p_{0}=p_{0}\left(1+\frac{10}{100} \right)=\frac{110}{100}p_{0}=\frac{11}{10}p_{0}[/tex]
[tex]p_{12}=p_{11}-\frac{10}{100}p_{11}=p_{11}\left( 1-\frac{10}{100} \right)=\frac{90}{100}.\frac{11}{10}p_{0}=\frac{99}{100}p_{0}[/tex]

Във втория случай, цената се намалява с 10% и след това се увеличава с 10%.
[tex]p_{21}=p_{0}-\frac{10}{100}.p_{0}=p_{0}\left(1-\frac{10}{100} \right)=\frac{90}{100}p_{0}=\frac{9}{10}p_{0}[/tex]
[tex]p_{22}=p_{21}+\frac{10}{100}p_{11}=p_{21}(1+\frac{10}{100})=\frac{110}{100}.\frac{9}{10}p_{0}=\frac{99}{100}p_{0}[/tex]

Вижда се, че за така избраните проценти, продажните цени в края на двата случая са равни, тоест няма значение дали ще пазаруваме в след края на случай 1 или след края на случай 2.

Задача 2. За услугата пощата взема една десета от преведената сума. На каква стойност е превода, ако след заплащане на услугата гражданинът получава 99 лeва?

Нека изпратената сума е [tex]x[/tex] лева. Тогава: [tex]x-\frac{1}{10}x=99[/tex]

[tex]\underbrace{x-\frac{x}{10}=99}_{10} \Leftrightarrow 10x-x=990 \Leftrightarrow 9x=990 \Leftrightarrow x=110[/tex] лева

Задача 3. От четирима дарители вторият дал два пъти повече от първия, третият – три пъти повече от втория, четвъртият – четири пъти повече от третия, а заедно дали 132 лири. Колко е дал първият?

Нека дарението на първия дарител е [tex]x[/tex] лири.

$$ \begin{matrix} дарител & сума \\ 1 & x \\ 2 & 2x \\ 3 & 3.(2x)=6x \\ 4 & 4.[3.(2x)]=24x \end{matrix} $$

Общото дарение е [tex]132[/tex] лири, [tex]\Rightarrow x+2x+6x+24x=132 \Leftrightarrow 33x=132 \Leftrightarrow x=4[/tex]

Първият дарител е дал [tex]4[/tex] лири.

[amalker]

Задача 4. Като видя как горко плаче Ерот, Киприда го попита: „Какво толкова те огорчи?“
Ерот отговори: „Носех много ябълки от Хеликон, но отнякъде изкочиха музите и налетяха на моя сладък товар. Дванадесета част мигом отнесе Евтерпа, а Клио прибра една пета, Талия – една осма взе. С двадесета част си отиде Мелпомена, четвърт взе Терпсихора, а след това Ерато грабна една седма част. Накрая Полихимния се задоволи с 30 плода, 120 взе Урания, а Калиопа – 300. Сега в къщи пристигам почти с празни ръце – само половин стотица ябълки ми оставиха музите.“
С колко ябълки Ерот е тръгнал от планината Хеликон?
Задача 5. Двама пирати, Окото и Зъба, седнали да делят плячка от жълтици. Окото извадил своите 63 жълтици, разделил ги на три еднакви купчини и дал една купчина на Зъба. Зъба я добавил към своите жълтици, разделил всичко на три еднакви купчини и дал една на Окото. Така двамата получили по равен брой жълтици и спрели делбата. Колко жълтици е имал първоначално Зъба?
Задача 6. На въпроса: „Колко ученици има?“ Питагор отговорил:
„Половината изучават математика, четвъртината – музика, седма част остават в мълчание, освен тези има и три жени.“. Колко са учениците на Питагор?
Задача 7. x : 3 – 7.(19 – x : 5) + 55 = 0 x = ?

Благодаря Ви за отделеното време и за помощта, която ми оказвате.
Ще помоля за помощ и на тези задачи.
Благодаря Ви още веднъж от сърце!

[ammornil]

Задача 4. Като видя как горко плаче Ерот, Киприда го попита: „Какво толкова те огорчи?“
Ерот отговори: „Носех много ябълки от Хеликон, но отнякъде изкочиха музите и налетяха на моя сладък товар. Дванадесета част мигом отнесе Евтерпа, а Клио прибра една пета, Талия – една осма взе. С двадесета част си отиде Мелпомена, четвърт взе Терпсихора, а след това Ерато грабна една седма част. Накрая Полихимния се задоволи с 30 плода, 120 взе Урания, а Калиопа – 300. Сега в къщи пристигам почти с празни ръце – само половин стотица ябълки ми оставиха музите.“
С колко ябълки Ерот е тръгнал от планината Хеликон?

Нека общо в началото ябълките са били [tex]x[/tex]

Ако допуснем, че цитираните части са спрямо цялото изначално количество, решението ще има следната форма:
[tex]\underbrace{\frac{1}{12}x +\frac{1}{5}x+\frac{1}{8}x + \frac{1}{20}x +\frac{1}{4}x +\frac{1}{8}x+ 30 +120 +300 +50= x}_{120} \Leftrightarrow 10x+24x+15x+6x+30x+15x+120.500=120x \Leftrightarrow 120x- 100x=120.500 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 20x=120.500 \Rightarrow x=\frac{120.500}{20}=3000[/tex]

Задача 5. Двама пирати, Окото и Зъба, седнали да делят плячка от жълтици. Окото извадил своите 63 жълтици, разделил ги на три еднакви купчини и дал една купчина на Зъба. Зъба я добавил към своите жълтици, разделил всичко на три еднакви купчини и дал една на Окото. Така двамата получили по равен брой жълтици и спрели делбата. Колко жълтици е имал първоначално Зъба?

Нека жълтиците на Зъба били [tex]x[/tex]. Окото му дал 21 жълтици и за него останали 42 жълтици.
Жълтиците на Зъба станали [tex]x+21[/tex], от които той дал [tex]\frac{x+21}{3}[/tex]. В крайна сметка парите които всеки от тях държал били:
[tex]\underbrace{x+21-\frac{x+21}{3} = 42 +\frac{x+21}{3}}_{3} \Leftrightarrow 3(x+21)-(x+21)=3.42+(x+21) \Leftrightarrow 3x+63-x-21-x-21=126 \Leftrightarrow x = 126-21 \Leftrightarrow x=105[/tex]

Задача 6. На въпроса: „Колко ученици има?“ Питагор отговорил:
„Половината изучават математика, четвъртината – музика, седма част остават в мълчание, освен тези има и три жени.“. Колко са учениците на Питагор?

Нека броят на учениците е [tex]x[/tex].

[tex]\underbrace{\frac{1}{2}x +\frac{1}{4}x +\frac{1}{7}x +3 = x}_{28} \Leftrightarrow 14x+7x+4x+3.28=28x \Leftrightarrow 28x-25x = 3.28 \Leftrightarrow 3x=3.28 \Rightarrow x=28[/tex]

Задача 7. x : 3 – 7.(19 – x : 5) + 55 = 0 x = ?

[tex]x:3 -7(19-x:5)+55=0 \Leftrightarrow \frac{x}{3}-7.\left( 19-\frac{x}{5} \right) +55=0 \Leftrightarrow \underbrace{\frac{x}{3}-7.19+\frac{7x}{5} +55=0}_{15} \Leftrightarrow 5x-15.133+3.7x+55.15=0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 26x -15. (133-55)=0 \Leftrightarrow 26x = 15.78 \Leftrightarrow x=\frac{15.3.26}{26}=45[/tex]

[Genie_Almo]

Задача 1. Кога е по-изгодно да се пазарува – когато отначало цените се повишат с 10% и след това се намалят с 10% или когато, отначало цените се намалят с 10% и след това се увеличат с 10%.? Защо?

(задачата вече е решена кратко и ясно по-горе от Jack, аз предлагам по-просторно решение)

Нека продуктът има начална (базова цена) от [tex]p_{0}[/tex] лева.
В първия случай, цената се повишава с 10% и след това се намалява с 10%.
[tex]p_{11}=p_{0}+\frac{10}{100}.p_{0}=p_{0}\left(1+\frac{10}{100} \right)=\frac{110}{100}p_{0}=\frac{11}{10}p_{0}[/tex]
[tex]p_{12}=p_{11}-\frac{10}{100}p_{11}=p_{11}\left( 1-\frac{10}{100} \right)=\frac{90}{100}.\frac{11}{10}p_{0}=\frac{99}{100}p_{0}[/tex]

Във втория случай, цената се намалява с 10% и след това се увеличава с 10%.
[tex]p_{21}=p_{0}-\frac{10}{100}.p_{0}=p_{0}\left(1-\frac{10}{100} \right)=\frac{90}{100}p_{0}=\frac{9}{10}p_{0}[/tex]
[tex]p_{22}=p_{21}+\frac{10}{100}p_{11}=p_{21}(1+\frac{10}{100})=\frac{110}{100}.\frac{9}{10}p_{0}=\frac{99}{100}p_{0}[/tex]

Вижда се, че за така избраните проценти, продажните цени в края на двата случая са равни, тоест няма значение дали ще пазаруваме в след края на случай 1 или след края на случай 2.

Само по последното изречение имам коментар. Тук е намесено т.нар. "съдружително свойство на умножението". Не само за така избраните проценти, ами за всички възможни проценти крайните цени биха били еднакви. В случая, извършването на междинните стъпки може донякъде да прикрие този факт. Затова нека да параметризираме.

Нека цените се увеличават с [tex]x[/tex] процента и се намаляват с [tex]y[/tex]. Нека първоначалната стойност на цената е [tex]p_{0}[/tex]. В зависимост от последователността на извършваните ценови корекции имаме два варианта:

[tex]1) p_{1} = [p_{0}[/tex](1+x%)[tex]][/tex](1-y%)
[tex]2) p_{2} = [p_{0}[/tex](1-y%)[tex]][/tex](1+x%)

Сега вече е много лесно да се забележи, че винаги [tex]p_{1} = p_{2}[/tex], без да е необходимо да се извършват аритметичните действия. Крайният резултат винаги би бил еднакъв, независимо от стойността на конкретните параметри, от броя на операциите и от последователността на тяхното прилагане.

Колкото до конкретната задача, според мен най-изгодно би могло да се пазарува при втория вариант, стига да се уцели точно периодът след първоначалното намаление с 10% и преди да се извърши последващата корекция в обратната посока.

[ammornil]

.