за колко време ще стигне до ...

[L.e.o]

Фермер си работи на нивата и забелязва, че къщата му гори. Колко е минималното време необходимо му за да стигне до къщата си?

Инфо:
Къщата се намира на поляна, която е да нивата. Разтоянието от къщата до нивата е А. Разтоянието от фермера до поляната е B. Разтоянието от фермера до къщата е L. Фермерът се движи в нивата със скорост V, a по поляната със скорост 2V.

[mkmarinov]

Времето се разделя на две части - това, необходимо да стигне от нвиата до поляната и необходимото да стигне от началото на поляната до къщата си.
На нивата: изминава разстояние B със скорост V => [tex]t_1=\frac{B}{V}[/tex]
От началото на поляната до къщата: изминава разстояние L със скорост 2V => [tex]t_2=\frac{A}{2V}[/tex]
[tex]t=t_1+t_2=\frac{B+\frac{A}{2}}{V}[/tex]

[L.e.o]

Грешиш.
Да спомена само, което смятам, че си приел наготово така или иначе: границита между нивата и поляната е права линия.

[mkmarinov]

И би ли ми казал къде греша?

[L.e.o]

Къде използваш L? Никъде не е казано, че L=A+B, така, че много по-вероятният случей където L>A+B остава нерешен.

[mkmarinov]

А ти някъде споменаваш ли коя траектория ще избере фермерът?
Най-бързата?
Или по отсечката L.

(все пак горното ми решение си остава невярно)

[L.e.o]

Каква траектория ще избере фермера ...това ти трябва да решиш. Кажи-речи, то това е цялата задача. Намериш ли треакторията и знаейки скоростите, да се изчисли времето е лесно, нали?

[b1ck0]

[tex]t = \frac{B.V}{cos( \alpha )} + \frac{2AV}{cos (\alpha) } = \frac{V(B+2A)}{cos (\alpha)}[/tex] ????

[Martin Nikovski]

Човек и къща.

Drawing.jpg (13.12 KiB) Прегледано 571 пъти

И аз получих нещо подобно като чертеж... Само че според мен пътят му е този, който съм отбелязал в синьо..
Пътят на нивата трябва да е минимален, защото там човекът се движи с по-малка скорост. Затова [tex]S_1=MN=B[/tex]
[tex]t_1=\frac{S_1}{V } =\frac{B}{V }[/tex]
Остава да намерим времето на движение в поляната. [tex]t_2=\frac{S_2}{2V}=\frac{NQ}{2V }[/tex]
От подобните триъгълници [tex]\Delta MON[/tex] и [tex]\Delta QOP[/tex] имаме, че: [tex]\frac{OM}{OQ }=\frac{MN}{PQ }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{x}{L-x }=\frac{B}{A }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=\frac{BL}{A+B }[/tex]
В [tex]\Delta MNO[/tex] ([tex]\angle MNO=90^\circ[/tex]):
[tex]\cyr{PT}[/tex]: [tex]ON^2=OM^2-MN^2=x^2-B^2=\left(\frac{BL}{A+B }\right)^2-B^2=\frac{B^2\left[L^2-\left(A+B\right)^2\right]}{\left(A+B\right)^2 }[/tex]
[tex]ON=\frac{B}{A+B }\sqrt{L^2-\left(A+B\right)^2}[/tex]
От подобните триъгълници: [tex]\frac{ON}{OP }=\frac{MN}{PQ }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]OP=ON.\frac{PQ}{MN } =\frac{\cancel B}{A+B }\sqrt{L^2-\left(A+B\right)^2}.\frac{A}{\cancel B } =\frac{A}{A+B }\sqrt{L^2-\left(A+B\right)^2}[/tex]
Тогава: [tex]PN=ON+OP=\frac{B}{A+B }\sqrt{L^2-\left(A+B\right)^2}+\frac{A}{A+B }\sqrt{L^2-\left(A+B\right)^2}=\sqrt{L^2-\left(A+B\right)^2}[/tex]
В [tex]\Delta MNO[/tex] ([tex]\angle MNO=90^\circ[/tex]):
[tex]\cyr{PT}[/tex]: [tex]NQ^2=PQ^2+PN^2=A^2+\left(\sqrt{L^2-\left(A+B\right)^2}\right)^2=\cancel{A^2}+L^2-\cancel{A^2}-2AB-B^2[/tex]
[tex]NQ=\sqrt{L^2-2AB-B^2}[/tex]
[tex]t_2=\frac{NQ}{2V }=\frac{\sqrt{L^2-2AB-B^2}}{2V }[/tex]
[tex]t=t_1+t_2=\frac{B}{V } +\frac{\sqrt{L^2-2AB-B^2}}{2V }=\frac{2B+\sqrt{L^2-2AB-B^2}}{2V }[/tex]
Е... има ли нещо вярно...?

[b1ck0]

Е да ... най-логично е да излезе от нивата, където се движи два пъти по-бавно и да си отиде до къщатата по поляната ...

[Martin Nikovski]

Хаха... нещо off-topic.. Сега забелязах, че означенията ми имат и друг смисъл (абсолютно неумишлено е!!)
[tex]M[/tex] - човек (вероятно идва от MAN)
[tex]Q[/tex] - обикновено се чете като "К" (от Къща)
На границата съм сложил [tex]N[/tex] и [tex]P[/tex] - Нива и Поляна...

[mkmarinov]

[tex]t = \frac{B.V}{cos( \alpha )} + \frac{2AV}{cos (\alpha) } = \frac{V(B+2A)}{cos (\alpha)}[/tex] ????

Само по размерността ще ти кажа, че е грешно .

Ако се търси най-бързата траектория задачата си става напълно определена.

Мартин Никовски, мисля, че трябва да докажеш, че за всяка точка C между N и O: [tex]t_{MCQ}>t_{MNQ}[/tex]

[Martin Nikovski]

Да... вярно е, че трябва доказателство... но ми се струва логично да е, както съм го написал... В противен случай трябва да изразя времето като функция на [tex]\alpha[/tex] ([tex]\alpha=\angle CMN[/tex], където [tex]C[/tex] е между [tex]M[/tex] и [tex]O[/tex]), да намеря производната на тази функция и при какви стойности за [tex]\alpha[/tex] тя става [tex]0[/tex] (минимум)... След това замествам с получената стойност за [tex]\alpha[/tex] и получавам минималното време, но.. не вярвам да е толкова сложно... все пак е в раздел "Забавна математика". Нека L.e.o каже...
П.П. Като се замисля, по-рационално е да изразя времето като функция на [tex]CN[/tex], а не на [tex]\alpha[/tex]...

[L.e.o]

За сега всички показани решения са грешни.
Чисто математически задачата никак не е лесна. Има друг, много по-лесен начин, за който мисля, че всики сме учили.
Ще Ви оставя да се помъчите още малко и дотогава ако няма решение ще Ви подскажа и съм сигурен, че реакцията Ви ще бъде "Оф, да бе ..."
Повтарям: търси се минималното време, за което фермера може да стигне до къщата си.

Мартин Никовски, гледайки профила и интересите ти, ще е срамота да не можеш да я решиш. Успех.

[Martin Nikovski]

Хмм... значи си говорим за физика...
Ще си помисля много хубаво...
П.П. Понякога прекомерното решаване на сложни задачи прави решаването на по-лесни неимоверно по-трудно...

[Martin Nikovski]

Човек и къща.

Drawing.jpg (20.62 KiB) Прегледано 540 пъти

Е... след обстойно обмисляне... първо стигнах до абсурдния извод, че човекът вече е в къщата ... След като го отхвърлих, започнах да мисля от физична гледна точка и задачата много ми напомни на един проблем от оптиката... Минавайки през принцип на Ферма и стигайки до закон на Снелиус... Реших да направя аналогия с движението на светлината, която винаги минава от пътя, за който времето е минимално (което съвпада с условието на задачата).
Мисля, че вече става сравнително лесно, само че стана много късно... Утре ще съм вкъщи след 18h, ако все още не е упоменато решението, ще напиша своето...

[L.e.o]

Well done. Задачата е наистина от раздел оптика. Прилагайки просто закона на Снелиус и използвайки от Ферма "го поляма скорост = по-малко n", логически стигаш до:
sin? = 2sin?
Системата у-я става:

sin? = 2sin? = CN/CM = 2PC/QC
L^2 = (A+B)^2 + (PC+CN)^2
A^2+PC^2 = QC^2
B^2 +CN^2 = CM^2

4 у-я с 4 неизвесни => Намират се QC и CM.
Без реални стойностти задачата изисква тромави алгебрични сметки (които са ненужни).

[Martin Nikovski]

Е... какво мога да направя, освен да те поздравя за хубавата задача... Не беше много лесно да се досетя за решението...