2 задачки-закачки

[L.e.o]

1. В една редица има 1000 прозореца.
Минал един човек и ги отворил всички. Минал 2ри и затворил всеки 2ри прозорец. Минал 3ти и отворил/затворил всеки 3ти, и тн докато минали 1000 човека.
Колко прозореца са останали отворени?


2. В самолет има 200 места. Всички са запазени, но 1вият се качил, вместо да си седне на неговото място, сяда на нечие друго. След това, всеки си сяда на неговото място, ако не е заето. Ако е заето - случайно избира друго и сяда там. Вие влизате последен.
Какъв е шанса да си седнете на вашето си място?

[loving_math]

Хаха, след като сериозно се помъчих над задачата ,рисувайки отворени и после затворени прозорци,май намерих решението.
Нека разгледаме точно по бабешкия начин с отметки случващото се с първите 10 прозореца след минаването на първите 10 души.Отворени ще останат номерата 1,4 и 9.Ако се помъчим още малко, със случилото се след минаването на първите 20 човека, ще намерим още един отворен прозорец в първите 20, а именно номер 16.
Тоест дотук имаме 1,4,9,16...Но това не ми помогна да намеря алгоритъм за по-нататък. Забелязах обаче, че получените дотук номера на останали със сигурност отворени прозорци са точни квадрати.Реших да проверя идеята.Нека разгледаме доказано затворените до номер 10.
2 - с делители 1 и 2, тоест двама души се занимават с него, един го отваря, другият го затваря и толкова.Прозорецът окончателно остава затворен.
3 - с делители 1 и 3, тоест двама души се занимават с него, един го отваря, другият го затваря и толкова.Прозорецът окончателно остава затворен.
5 - с делители 1 и 5, тоест двама души се занимават с него, един го отваря, другият го затваря и толкова.Прозорецът окончателно остава затворен.
6 - с делители 1,2,3 и6, тоест четирима души се занимават с него.Отворен - затворен - отворен - накрая затворен.
7- с делители 1 и 7, тоест двама души се занимават с него, един го отваря, другият го затваря и толкова.Прозорецът окончателно остава затворен.
8 - с делители 1,2,4,8, тоест четирима души се занимават с него.Отворен - затворен - отворен - накрая затворен.
10- с делители 1,2,5 и 10, тоест четирима души се занимават с него.Отворен - затворен - отворен - накрая затворен.
От горното излиза, че всеки прозорец с номер число, чийто брой делители е четен, задължително накрая ще бъде затворен.Постарах се да проверя това твърдение и с няколко по-големи числа.
Тогава отворените прозорци ще са тези, чийто номер е число, броят делители на което е нечетен.
Такива числа са именно точните квадрати.
Следователно нека означим с х останалия брой отворени прозорци.
[tex]x^2\le 1000[/tex]
Последният точен квадрат, който задоволява това неравенство е 961.Иначе казано 31 отворени прозореца.
Номерата им съответно са
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169.....961
Съжалявам за твърде вербалното описание, не знам как да му придам по-математически вид.


Краен отговор: 31 отворени прозореца

[L.e.o]

На задача 1, верният отговор е 31. (числата, които са точни квадрати имат нечетен брой делители)

[loving_math]

Leo, от условието не ми стана ясно, дали пътниците се качват на борда по реда на местата в билетите им, тоест 1,2,3,4,....200, или се качват в съвсем произволен ред?

[L.e.o]

Произволен ред. (нещо което не е опоменато е случайна величина).

[L.e.o]

Е? Някой да се пробва със Задача 2?

[Mathemagician]

много малко

[allier]

Аз ще се пробвам със задача 2 - или си сяда, или не. 50% е шансът.

[loving_math]

Преди време писах на Лео на лични с предположението, че вероятността е 1/2.Отговорът му беше, че предположението ми е грешно.

[allier]

Е добре де - [tex]\frac{99}{199 }[/tex]. Пак е приблизително [tex]\frac{1}{2 }[/tex].

[L.e.o]

99/199 .
Щеше да е 1/2 ако 1вия, който влиза може да се седне на неговото място.