Фибоначи

[martin.nikolov]

Попаднах на една интересна задача, с интересно решение, което прави задачата очевидна. Задачата е да се докаже, че за редицата на Фибоначи е изпълнено [tex]F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n[/tex].

[allier]

Това има сигурно стотици доказателства, използващи различните свойства на Фибоначи. Ето едно кратко, което току що измислих.

[tex]f^2(n) + f^2(n-1) = (f(n-1)+f(n))f(n-1) + (f(n)-f(n-1))f(n) = f(n+1)f(n-1) + f(n)f(n-2)[/tex]. Значи,
[tex]f(n+1)f(n-1)-f^2(n)=-(f(n)f(n-2)-f^2(n-1))[/tex]

Като се сметне в началото излиза 2.1-1.1 = 1 и следователно равенството от условието е изпълнено.

[martin.nikolov]

Да, разбира се има много начини да се докаже. Аз имах предвид друг, който прави тъждеството очевидно.

[kerry]

Аз имах предвид друг, който прави тъждеството очевидно.

Предполагам, че става въпрос за лица на правоъгълници.

[ganka simeonova]

Може също така да се ползва, че числата

[tex]A_n=(\frac{5-\sqrt{5} }{10 } )(\frac{1-\sqrt{5} }{ 2} )^n +(\frac{5+\sqrt{5} }{10 } )(\frac{1+\sqrt{5} }{ 2} )^n[/tex]

образуват редица на Фибоначи.

[martin.nikolov]

Хубаво, може би трябваше да напиша решението. Но не исках това да спира търсенето на други. Така, че ето го, но продължавайте да предлагате нови.

Това равенство е очевидно

[tex]\left(
1 \quad 1\\
1 \quad 0
\right)^n=
\left(
F_{n+1} \qquad F_n\\
F_n \qquad F_{n-1}
\right)[/tex]

Очевидно е и какви са им детерминантите.

[allier]

Да, доста хитро решение.

[martin.nikolov]

И на мен ми хареса за това го пуснах тук. Това равенство може да се използва да се сметне общия член по друг начин от стандартните. Повдигаме матрицата на ента степен.

[kerry]

Мислех да използвам лицата на тези квадрати,

fibonachi.JPG (20.42 KiB) Прегледано 696 пъти

които са [tex]F_n^2[/tex], да получа правоъгълници с лица [tex]F_{n-1}*F_{n+1}[/tex] и като ги сравня да получа разлика [tex]\pm 1[/tex].

Но не измислих нищо.

Стойностите на детерминантите ми са очевидни, но равенството не ми е очевидно. Може ли малко разяснение.

[martin.nikolov]

Умножи няколко пъти матрицата със себе си и ще ти се изясни.