3-5-8

[kucheto]

Не се залъгвайте по заглавието, това не са карти. Ето и задачата:
Двама играчи играят следната игра: на 3 реда са подредени съответно по 3, 5 и 8 топчета, като всеки играч има право да взима произволен брой топчета само от 1 ред. Губи този, който вземе последното топче. Как трябва да започне играта първият, за да е сигурен, че ще спечели? Покажете всички варианти, при които играчът, който е на ход губи, като започнете от по-простичките, докато стигнете до желания отговор.

Надявам се това да бъде една тренировка за вашия мозък, не както на мен ми дадоха решението наготово и после се правех на интересен, и биех някои свои приятели на нея, независимо дали съм първи или втори, тъй като знаех не чак толкоз многото възможности.

[ptj]

Нищо сложно. Тръгваш отзад напред. Последната комбинация за игра пред губещия ще е 1.0.0. Съответната пред печелившия преди нея - 1.x.0. Евентуално тя би се получила от 2.(x+1).0 или 1.x.1. След този мини-анализ лесно се вижда че печелившата стратегия е следната:
1.) Докато редовете са 3 да се пазят нечетен брой топчета във всеки от тях.
2.) Когато станат 2 реда да се сведат до 2,x,0 (x>1) или 0.1.0
3.) На следващия ход да се сведат до 2.2.0 или 0.1.0 .

Очевидно първия има предимство.

[kucheto]

Докато редовете са 3 да се пазят нечетен брой топчета във всеки от тях.

Не е така. Не подценявай задачата, направи си таблица и дай пълно решение.

[ptj]

Докато редовете са 3 да се пазят нечетен брой топчета във всеки от тях.

Не е така. Не подценявай задачата, направи си таблица и дай пълно решение.

Ако първия спазва това условие когато пред него останат само два реда с топчета, те очевидно ще съдържат по нечетен брой. Тогава той може да избере дали да мине към 2.x.0 (x>1) или 0.1.0 ,в зависимост кое е възможно.

[kucheto]

По-добре ми дай контра-пример, от който няма да мина към точка 2 или 3.

Ааа, аз контрапримери не давам, щото това ще си е чиста подсказка, а според мен задачата си е на ниво горе-долу олимпиада за 5-6 клас, така че не давам никакви жокери.

[ptj]

Виж пак, дадох ти основателен отговор.

[kucheto]

Виж пак, дадох ти основателен отговор.

Дай конкретен пример, че не разбирам какво точно искаш да кажеш.

[ptj]

Печеливши са първия играч са: 3.5.7 ; 3.5.5; 3.3.3; 1.3.7; 1.3.5; 1.1.7; 1.1.5; 1.1.3; 1.1.1 .

1.) Той спазва условието докато колконките са 3 да ги свежда към една от горе споменатите.
2.) Очевидно когато втория играч реши да вземе цяла колонка (преименувах за по-лесно), то пред първия ще останат 2 с нечетен брой. Вариантите от тук нататък са 2:

- Ако пред първия са 0.1.1; 0.1.3; 0.1.5 или 0.1.7, той ще вземе цяла колонка и ще остави за 2-рия 0.0.1.

- Ако пред първия е някоя от 0.5.7; 0.3.7; 0.3.5; 0.3.3 ще ги сведе към 0.2.x (x>2). На следващия си ход ще остави или 0.2.2 или 0.0.1.

П.П. Това е точно по споменатите по-горе правила.

[kucheto]

Печеливши са първия играч са: 3.5.7 ; 3.5.5; 3.3.3; 1.3.7; 1.3.5; 1.1.7; 1.1.5; 1.1.3; 1.1.1 .

1.) Той спазва условието докато колконките са 3 да ги свежда към една от горе споменатите.
2.) Очевидно когато втория играч реши да вземе цяла колонка (преименувах за по-лесно), то пред първия ще останат 2 с нечетен брой. Вариантите от тук нататък са 2:

- Ако пред първия са 0.1.1; 0.1.3; 0.1.5 или 0.1.7, той ще вземе цяла колонка и ще остави за 2-рия 0.0.1.

- Ако пред първия е някоя от 0.5.7; 0.3.7; 0.3.5; 0.3.3 ще ги сведе към 0.2.x (x>2). На следващия си ход ще остави или 0.2.2 или 0.0.1.

П.П. Това е точно по споменатите по-горе правила.

От всички споменати най-горе само 1-1-1 е печелившо за този, който НЕ е на ход. Ако на другите ти доброволно ги получаваш срещу мен и съм аз на ход на тях, определено ще загубиш. Това с нечетните цифри изобщо не е вярно. Решението се състои в изследването на всички 3-редови комбинации с различен брой числа, тъй като при x:y:y, y>1, x>0 ще взема реда с x топчета, а другия ред ще го държа симетричен, докато на единия от останалите 2 не останат 0 или 1 топчета, където елиминирам до оставане на 0-0-1.

[ptj]

Прочети го пак и ако е нужно си го отиграй с пулчета за табла. По-добре не бих могъл да ти го обясня.

[allier]

Ptj, дай да играем ... Ти си пръв.

[L.e.o]

Ако 1вият ход е да вземем 7 топчета правейки купчинките 1-3-5, няма ли да печеливш за 1вия играч?

[kucheto]

Ако 1вият ход е да вземем 7 топчета правейки купчинките 1-3-5, няма ли да печеливш за 1вия играч?

Взимам ти 3 от 3-тия ред: 1-2-3 и губиш, това е една от печелевшите 3-редови комбинации, посредством които трябва да стигнете крайния отговор, който е само 1, но за целта не ми давайте сухи предложения, а се аргументирайте

[allier]

Всичко е до двоично представяне и нагласяване на бинарната сума да бъде 0-ла след всеки ход на печелившия играч. Ако в началото е 0-ла, губиш, ако не е, печелиш. При 3,5,8 трябва да играеш 2 от 8-цата и да го докараш до 3,5,6.

[kucheto]

Всичко е до двоично представяне и нагласяване на бинарната сума да бъде 0-ла след всеки ход на печелившия играч. Ако в началото е 0-ла, губиш, ако не е, печелиш. При 3,5,8 трябва да играеш 2 от 8-цата и да го докараш до 3,5,6.

Може ли за непросветените да обясниш какво е двоично представяне и нагласяване на бинарната сума
Първият ход ти е верен, но покажи всичките печеливши комбинации с естествени числа във всеки ред, до тези с най-голям член 8, които по мои изчисления са 8 на брой, за да бъде разбрано от всички, а ако няма отговор ще ги напиша малко по-късно.

[allier]

880
770
761
752
743
660
653
642
550
541
440
330
321
220
110

Това би трябвало да е пълният списък на печелившите позиции за втория с числа не по-големи от 8. Във всички други случаи печели първият, като свежда да някоя от тези.

[kucheto]

Само последното е грешно, може би си илал предвид 1-1-1. Иначе като изключим комбинациите с нули имаме на брой 8:
[tex]1-1-1\\1-2-3\\1-4-5\\1-6-7\\2-4-6\\2-5-7\\3-4-7\\3-5-6[/tex]

А как може да намерим топките в 3-та колонка, ако имаме дадени 2, каква е формулата? За този въпрос сега се замислих и не му знам отговора, така че ще ти бъда благодарен ако ми го дадеш.

[allier]

1,1,1 не е печелившо за първия. То е печелившо за втория, който играе от 1,1,0.

Иначе може да намериш третата колонка така. Пишеш първите две в двоично представяне. Например, ако са 5,6, пишеш следното:
110
101

Третото число има свойството, че ако го допишем отдолу, във всяка колонка ще има четен брой единици. Така че, наистина, то е единствено. В случая, 011, което е равно на 3.

[kucheto]

1,1,1 не е печелившо за първия. То е печелившо за втория, който играе от 1,1,0.

Иначе може да намериш третата колонка така. Пишеш първите две в двоично представяне. Например, ако са 5,6, пишеш следното:
110
101

Третото число има свойството, че ако го допишем отдолу, във всяка колонка ще има четен брой единици. Така че, наистина, то е единствено. В случая, 011, което е равно на 3.

1-1-1 е печелившо за този, който НЕ е на ход, а 1-1-0 е печелившо за този е на ход. В моя пример аз съм дал вариантите, при които този, който НЕ е на ход печели и 1-1-1 е от тях, тъй че не си ме разбрал правилно. Иначе твоя метод аз го разбирам така: Представяме двете числа в двоичната система и изваждаме почленно, като отдолу пишем само модулите на разликите. Например ако имаме числата 39 и 25: 39=100111; 25=011001 Като извадим и пишем модулите получаваме 111110=62, следователно печелившата комбинация е 25-39-62. Прав ли съм?

Между другото този метод не върви при 1-1, 1-0 и 0-0, тъй като се получават съответно: 1-1-0, 1-0-1 и 0-0-0, които не изпълняват условието, на което наблегнах по-горе, но може би си има причина точно те да са изключения, все пак са твърде малки. Все пак ти благодаря, allier, че проумях математичната същност на въпроса и ще ми е интересно ако разгледаме варианти с по 4 реда.

[allier]

Прав си, да. За 4 ще е интересно да се помисли.

[L.e.o]

Ако 1вият ход е да вземем 7 топчета правейки купчинките 1-3-5, няма ли да печеливш за 1вия играч?

Взимам ти 3 от 3-тия ред: 1-2-3 и губиш, това е една от печелевшите 3-редови комбинации, посредством които трябва да стигнете крайния отговор, който е само 1, но за целта не ми давайте сухи предложения, а се аргументирайте

1-3-5
Вземаш 3 от 3тия?
Остават за мен 1-2. Вземем 2 от 2рия и за теб остава последното = губиш.

[kucheto]

1-3-5
Вземаш 3 от 3тия?
Остават за мен 1-2. Вземем 2 от 2рия и за теб остава последното = губиш.

5-3=2 и се получава 1-3-2, на което като си ти на ход губиш, няма никакво 1-2, а 1-2-3.

[L.e.o]

Печеливши са първия играч са: 3.5.7 ; 3.5.5; 3.3.3; 1.3.7; 1.3.5; 1.1.7; 1.1.5; 1.1.3; 1.1.1 .

1.) Той спазва условието докато колконките са 3 да ги свежда към една от горе споменатите.
2.) Очевидно когато втория играч реши да вземе цяла колонка (преименувах за по-лесно), то пред първия ще останат 2 с нечетен брой. Вариантите от тук нататък са 2:

П.П. Това е точно по споменатите по-горе правила.

1-2-3 също е печелившо за 1вия играч, но то не попада в твоето условие за нечетност.

[ptj]

Печеливши са първия играч са: 3.5.7 ; 3.5.5; 3.3.3; 1.3.7; 1.3.5; 1.1.7; 1.1.5; 1.1.3; 1.1.1 .

1.) Той спазва условието докато колконките са 3 да ги свежда към една от горе споменатите.
2.) Очевидно когато втория играч реши да вземе цяла колонка (преименувах за по-лесно), то пред първия ще останат 2 с нечетен брой. Вариантите от тук нататък са 2:

П.П. Това е точно по споменатите по-горе правила.

1-2-3 също е печелившо за 1вия играч, но то не попада в твоето условие за нечетност.

1-2-3 не е печелившо, защото 2-рия може да остави за 1-вия 1-2-2, след което 2-рия печели.

Моето условие за нечетност не е правилно, защото 2-рия играч може да влезе в същата група. Едно множество от решения е печелившо, ако съществува стратегия позволяваща на даден играч да не позволява на другия да влиза в него (т.е. да раздели играта на две непресичащи се взаимно множества).

[kucheto]

1-2-3 не е печелившо, защото 2-рия може да остави за 1-вия 1-2-2, след което 2-рия печели.

Продължаваш да упорстваш обаче. Не видя ли кореспонденцията ни с allier, там всичко е обяснено? При 1-2-2 взимам единицита и става 2-2-0. Ако вземеш 1 топче от единия ред, аз взимам 2 топчета от другите, а ако вземеш 2 от първия, вземам 1 от другия. И в двата случая става 1-0-0 при ход на 2-рия играч, т.е. първият печели.

П.С.Преди да пишете нещо, първо мислете, прочитайте предишните мнения и тогава пишете, а не да спамите излишно