Числата на Фибоначи

[student]

Наскоро ми попадна един каледнар, вдъхновен от числовия ред на Фибоначи. Мотото на кландара е:

"Красотата е кодирана в най-простите неща"

на листовете са изписани някой свойства на тези числа, които ми заинтрегуваха. Ето ги самите тези свойства на календара:

[tex]F(n)=F(n-1)+F(n-2), F(0)=0, F(1)=1[/tex]

[tex]F_{-n}=(-1)^{n+1}F_n[/tex]

[tex]\sum_{hk=n}^{n+y}F_k=11F_{n+6}[/tex] (тази формула не я разбирам )

[tex]\lim_{n \to \infty } \frac{F_{n+1}}{F_n}= \varphi= \frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex], където [tex]\varphi[/tex] e златното сечение

[tex]\sum_{i=0}^{n}F_i=F_{(n+2)}-1[/tex]


[tex]\begin{pmatrix} F_{k+2}\\F_{k+1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &1\\1& 0 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} F_{k+1}\\F_{k} \end{pmatrix}[/tex] (тази формула не я разбирам )

Ще помоля, някой да ми обясни формулите, които не разбирам по-горе и за други такива интересни и известни свойства на числата на Фибоначи.

Благодаря предварително.

[vel.angelov]

Последната формулка е очевидна
[tex]\begin{pmatrix} F_{k+2}\\F_{k+1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &1\\1& 0 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} F_{k+1}\\F_{k} \end{pmatrix}[/tex]
Просто умножи матриците в дясно и получаваш [tex]\begin{pmatrix} F_{k}+F_{k+1}\\F_{k+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} F_{k+2}\\F_{k+1} \end{pmatrix}[/tex]