Колко е струвало ножчето

[ferry2]

Един баща имал двама сина. Нямал какво друго да им завещае освен стадо овце. Синовете продали овцете и парите, които спечелили за една овца се равнявали на броя на всички овце. Започнали да си ги поделят по следния начин: по-големия взима 10лв. след това по-малкия взима 10лв. Накрая за по-малкия брат останало да взима сума по-малка от 10лв. За да е честна подялбата по-големия брат му дал джобното си ножче. Колко е струвало ножчето?

[iboB]

Накрая са останали 6 лева за малкия, сиреч ножчето струва 4 лева (или 2 лева ако се смята и загубата на големия брат)

[Добромир Глухаров]

Много хубава задача. Навремето много й се радвах. Да напиша ли отговора ?

EDIT: Оппаа. Изпреварили са ме .

[iboB]

Много хубава задача. Навремето много й се радвах. Да напиша ли отговора ?

EDIT: Оппаа. Изпреварили са ме .

Е, и аз не съм го написал в детайли.
Иначе да го пишем ли с доказателството?

[ferry2]

Ако имате желание го напишете за тези, които не го знаят. Интересна задачка е. Един колега ми я каза завчера в университета след изпит.

[iboB]

Ми значи щом за по-малкия е останала сума по-малка от 10, значи преди това нечетен брой пъти са си давали пари. Следователно предпоследната цифра на числото на парите е нечетна.

Парите са равни на квадрата на овцете (х овце по х лева всяка). Да представим броя овце като a*10+b (където b е последната цифра на числото на овцете), тогава парите ще са (a*10+b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2. Първото събираемо от тук не може да промени предпоследната цифра на сумата. Второто може да я промени само с четна стойност. Следователно за да може предпоследната цифра да бъде нечетна , трябва b^2 да има нечетна предпоследна цифра. От всички едноцифрени числа, това е вярно само за 4 (16) и 6 (36). И двата квадрата завършват на 6.

Показахме че квадратно число има предпоследна нечетна цифра тогава и само тогава, когато последната му цифра е 6. Следователно сумата която е останала за малкия брат е 6лв.