Задачи от състезанието на НПМГ

[mehudi]

здравейте, може ли някой да ми помогне - какво е решението на задачите 12 и 17 от състезанието за 4-ти клас на пчмг? не става въпрос за отговора (той е публикуван), а как се решава.

12. с две естествени числа извърших следните четири действия: събах ги, извадих ги, умножих ги, разделих ги. после събрах четирите резултата и получих 245. кое е по-голямото от числата

17. коя е последната цифра на числото, равно на 1.2.3.4+2.3.4.5+3.4.5.6+...+2016.2017.2018.2019?

предварително благодаря

[Knowledge Greedy]

12. С две естествени числа извърших следните четири действия: събрах ги, извадих ги, умножих ги, разделих ги. После събрах четирите резултата и получих 245. кое е по-голямото от числата?

При всяко от горните действия се е получило цяло число, щом сборът от тези действия е цялото 245.
При събиране, изваждане и умножение резултатът е винаги цяло число. Проблем може да има при делението, но след като сборът на всичките е цяло, значи и при делението се получава цяло.
Да означим по-малкото с [tex]b[/tex], а по-голямото с [tex]a[/tex]. От казаното по-горе [tex]a:b=k[/tex] или [tex]a=k.b[/tex] .
Нека повторим условието.
събрах ги [tex]a+b=kb+b[/tex]
извадих ги [tex]a-b=kb-b[/tex]
умножих ги [tex]a.b=kb^2[/tex]
разделих ги [tex]a:b=k[/tex]
събрах четирите резултата [tex]kb+\cancel{b} +kb- \cancel{b}+kb^2+k[/tex]

получих [tex]245,[/tex] следователно [tex]2kb+kb^2+k=245[/tex]
Записваме го като
[tex]k(b^2+2b+1)=245[/tex]
или още като
[tex]k(b+1)^2=245[/tex]
Но
[tex]245=5.49[/tex]
Следователно
[tex]\begin{array}{|l} k = 5 \\ b+1=7 \end{array}[/tex] (Друг цял квадрат в [tex]245[/tex] просто няма. )
Окончателно
[tex]\begin{array}{|l} k = 5 \\ b = 6 \\ a = 30 \end{array}[/tex]

17. Коя е последната цифра на числото, равно на 1.2.3.4+2.3.4.5+3.4.5.6+...+2016.2017.2018.2019?

От значение за последната цифра са очевидно повтарящите се появи на произведения на последните цифри:1.2.3.4 , 2.3.4.5, 3.4.5.6, 4.5.6.7, 5.6.7.8 и 6.7.8.9.
Но тези, които съдържат 5-цата, благодарение на четен множител завършват на нула, ето защо ги пропускаме.
Остават 1.2.3.4 и 6.7.8.9. Те и двете завършват на 4.
Трябва само да забележим колко пъти се срещат сред числата от първото до последното събираемо.

[Гост]

здравейте, може ли някой да ми помогне - какво е решението на задачите 12 и 17 от състезанието за 4-ти клас на пчмг? не става въпрос за отговора (той е публикуван), а как се решава.

12. с две естествени числа извърших следните четири действия: събах ги, извадих ги, умножих ги, разделих ги. после събрах четирите резултата и получих 245. кое е по-голямото от числата

17. коя е последната цифра на числото, равно на 1.2.3.4+2.3.4.5+3.4.5.6+...+2016.2017.2018.2019?

предварително благодаря

Първа задача

Решавам я с програма на C++.
Ето я:

Код: Избери целия код

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int sybirane, izwavdane, umnovawane, delenie;

    for (int a = 1; a <= 245; a++)
    {
        for (int b = a + 1; b <= 245; b++)
        {
            if (b % a == 0)
            {
                sybirane = a + b;
                izwavdane = b - a;
                umnovawane = a * b;
                delenie = b / a;

                if (sybirane + izwavdane + umnovawane + delenie == 245)
                {
                    cout << a << " " << b << endl;

                    return 0;
                }
            }
        }
    }

    return 0;
}


Програмата извежда [tex]6[/tex] и [tex]30[/tex].
Значи по-голямото е [tex]30[/tex].

Втора задача

Решавам я на C++.

Ето кода:

Код: Избери целия код

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    unsigned long long pro = 0, pro2 = 1;

    for (int i = 1; i <= 2016; i++)
    {
        for (int i2 = i; i2 <= i + 4; i2++)
        {
            pro2 *= i2;
        }

        pro += pro2;
    }

    cout << pro % 10 << endl;

    return 0;
}


Извежда [tex]4[/tex].

Значи целият израз завършва на [tex]4[/tex].