Стрелки на часовник

[KOPMOPAH]

Задачата е подсказана от тази https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=58&t=17860#p74380 на Добромир Глухаров, която незаслужено е останала без решение

Ето и от мен - Часовник има секундна стрелка на централната ос. Съществува ли момент от време, в който трите стрелки да са под ъгъл от $120^\circ$ една спрямо друга?

[Davids]

Аз казвам, че няма Пускам тото, на пръв поглед така ми се струва, ама късно стана за задълбочености

[KOPMOPAH]

Аз казвам, че няма Пускам тото, на пръв поглед така ми се струва, ама късно стана за задълбочености

Скрит текст: покажи

Така е, ама го докажи... Жокер - има едни взаимно прости числа

[yassi]

Добър ден,
Какво имате в предвид секундната стрелка е на централната ос? Коя е централната ос на часовник?
Ако имате в предвид, че секундната стрелка сочи 12 часа, то очевидно няма решение, защото в такъв случай часовата стрелка ще сочи 4 или 8 часа за да е на 120гр от секундната стрелка. Щом часовата стрелка сочи точен час, то минутната стрелка може да сочи само 12 часа.
Ако имате нещо друго в предвид под централна ос моля да поясните.

[KOPMOPAH]

Добър ден,
Какво имате в предвид секундната стрелка е на централната ос? Коя е централната ос на часовник?
Ако имате в предвид, че секундната стрелка сочи 12 часа, то очевидно няма решение, защото в такъв случай часовата стрелка ще сочи 4 или 8 часа за да е на 120гр от секундната стрелка. Щом часовата стрелка сочи точен час, то минутната стрелка може да сочи само 12 часа.
Ако имате нещо друго в предвид под централна ос моля да поясните.

Имам предвид, че секундната стрелка е на същата ос, на която са часовата и минутната. Вероятно сте виждали такъв часовник
Например в $10$ часа $11$ минути и $33$ секунди стрелките сключват ъгли, ПОЧТИ равни на $120$ градуса, ама задачата е да се намери не ПОЧТИ, ами ТОЧНО, или да се докаже, че не съществува.

[yassi]

Имам предвид, че секундната стрелка е на същата ос, на която са часовата и минутната. Вероятно сте виждали такъв часовник
Например в $10$ часа $11$ минути и $33$ секунди стрелките сключват ъгли, ПОЧТИ равни на $120$ градуса, ама задачата е да се намери не ПОЧТИ, ами ТОЧНО, или да се докаже, че не съществува.

Сега разбрах, искате да кажете, че часовника е аналогов (със стрелки), не цифров и трите стрелки се въртят около центъра на часовника.

Мое лично мнение е, че не е необходимо това да се казва в условието, защото е объркващо що е то централна ос на часовника. Да не говорим, че в условието е казано че секундната стрелка е на централната ос, а за часовата и минутната нищо не се казва. Има и такива часовници на които секундната стрелка е в центъра, а другите две са изнесени на друго място.
Според мен условието трябва да бъде чисто и просто:
Има ли момент в който трите стрелки на часовника ще са под 120гр? Нищо повече.
О'К, сега ще порешавам вече наистина.
Лек ден

[yassi]

Добър ден, ето какво решение скалъпих:
Vс=360/60=6[tex]^\circ[/tex]/сек
Vм=360/3600=1/10^\circ/сек
Vч=360/43200=1/120^\circ/сек

Секундна/часова стрелка
S=120 ^\circ = (Vс-Vч).t
t=120/(6-1/120)=14400/719 сек.
\Rightarrow на всеки 14400/719 секунди секундната стрелка ще е на 120 гр от часовата, при положение че началния момент е 00:00 или 12 часа

По същия начин секундна/минутна стрелка:
t=1200/59 сек
\Rightarrow на всеки 1200/59 сек секундната стрелка ще е на 120 гр от минутната започвайки от 00 часа

Да наречем един цикъл времето 14400/719 сек.
В този момент секундната и часовата стрелка са на 120 гр.
До момента в който секундната и минутната стрелка ще са на 120 гр остава 1200/59 - 14400/719
За това време секундната стрелка минава (1200/59-14400/719).6
а минутната минава (1200/59-14400/719).1/10
Разликата между двете е разстоянието, което изминава секундната стрелка спрямо минутната от момента в който секундната и часовата стрелка са на 120 гр до момента в който секундната и минутната стрелка са на 120 гр.
Изчислявайки горното се получава, че в момента когато сек и часовата стрелка са на 120 гр, то секундната стрелка е на
1320/719 градуса от 120 градуса с минутната стрелка.
Или по-образно на секундната стрелка и остават приблизително 1,835... градуса да бъде на 120 градуса от минутната.
Задачата се свежда то това дали съществува естествено число чикли при което:

n.1320/719 = 120 или 240
n=719/11
Следователно няма решение.
Не се сетих за по-логическо решение без смятане, ако някой се е сетил ще ми бъде интересно.

[KOPMOPAH]

Решението ти е много добро. Всички, които съм виждал, са подобни.
Интересното в задачата е, че разумът не иска да приеме невъзможността от такова разположение именно защото часовникът е АНАЛОГОВ, както казваш
И, ако позволиш, малко повече обърни внимание на LATEXа

[ptj]

Нека часа 00:00:00 условно приемем за 0-лев час.
Да допуснем, че съществува време [tex]x[/tex], за което 3-те стрелки са под [tex]120^\circ[/tex] една спрямо друга. Тогава във всеки друг час кратен на [tex]x[/tex] стрелките отново ще са под [tex]120^\circ[/tex] (и то в същата последователност). Понеже часовете [tex]x[/tex] и 12:00:00 имат най-малко общо кратно = час [tex]y[/tex], то в [tex]y[/tex] стрелките трябва от една страна да са под [tex]120^\circ[/tex] една спрямо друга, а от друга да съвпадат (00:00:00), което е противоречие.

[ptj]

Нека часа 00:00:00 условно приемем за 0-лев час.
Да допуснем, че съществува време [tex]x[/tex], за което 3-те стрелки са под [tex]120^\circ[/tex] една спрямо друга. Тогава във всеки друг час кратен на [tex]x[/tex] стрелките отново ще са под [tex]120^\circ[/tex] (и то в същата последователност). Понеже часовете [tex]x[/tex] и 12:00:00 имат най-малко общо кратно = час [tex]y[/tex], то в [tex]y[/tex] стрелките трябва от една страна да са под [tex]120^\circ[/tex] една спрямо друга, а от друга да съвпадат (00:00:00), което е противоречие.

Последователността на стрелките може и да не е същата:
Ако в часа [tex]x[/tex] едната стрелка е на ъгъл [tex]\alpha[/tex] спрямо 12 часа (по часовникова стрелка), втората на [tex]\alpha+120^\circ[/tex], а третатата на [tex]\alpha+240^\circ[/tex], то в часа [tex]2x[/tex] първата ще е на [tex]2\alpha[/tex], втората на [tex]2(\alpha+120^\circ)=2\alpha+240^\circ[/tex], а третата на [tex]2(\alpha+240^\circ)=2\alpha+480^\circ=2\alpha+120^\circ[/tex].
Т.е. отново ще са под [tex]120^\circ[/tex] една спрямо друга.

[yassi]

Решението ти е много добро. Всички, които съм виждал, са подобни.
Интересното в задачата е, че разумът не иска да приеме невъзможността от такова разположение именно защото часовникът е АНАЛОГОВ, както казваш
И, ако позволиш, малко повече обърни внимание на LATEXа

Ако под LATEX-a имате предвид вградените символи и знаци отдолу когато се пише поста, съжалявам.
Решението не го публикувах веднага, винаги си го преглеждам за граматически и логически грешки.
В случая ми отне повече време да редактирам тези символи отколкото да реша задачата.
Много пъти пробвах да вмъкна някакъв символ, веднъж ми го приема, друг път изписва това което стои зад символа.
За мен остана загадка, логическа задача как да използвам тези символи
За което съжалявам. Ще се помъча да я реша тази задача.
Лек ден

[ptj]

Няма нищо сложно в писането на формули:

https://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula

[yassi]

Добър ден,
Вчера реших задачата и по друг начин, тъй като търсех по-лесно решение. Загубих много време да се пробвам да слагам символи и знаци, но не се получава, затова ще пиша с думи. Другото решение по ми допада, а това нещо ме човърка.
Решение:
Нека да допуснем, че има час в който 3-те стрелки са на 120гр.
Нека този час е x y z, където x е часът цяло число от 0 до 11, у минутите цяло число от 0 до 59 и z секундите всяко рационално число от 0 до 60.
Пример 2 часа 34 минути и 375/45 секунди.
Vч=1/120 гр/сек
Vм=1/10 гр/сек
Vс=6 гр/сек
Първо трябва да намерим на какво разстояние (градуси) са трите стрелки от 00:00
Часовата: Sч=V.t=(3600.х+60.у+z).1/120
Sм=(60у+z).1/10
Sс=6.z
Следователно:
Sч-Sм=Sч-Sс=Sм-Sс=120 или 240
(3600x+60y+z).1/120-(60y+z).1/10=120 или 240
(3600x+60y+z).1/120-6z=120 или 240
(60y+z).1/10-6z=120 или
3600x-660y-11z=14400 или 28800
3600х+60у-719z=14400 или 28800
60у-59z=1200 или 2400

Тъй като х и у и отдясно са цели числа, то и следните числата са цели:
11z, 719z и 59z
Тъй като числата 11, 719 и 59 са взаимно прости, то следва че числото z трябва да е цяло.
Пример: ако z=n/11, то 11.z e цяло, но 719.z и 59.z не са цели числа. Единствения вариант и трите числа да са цели е z да е цяло.
Разглеждаме третото уравнение:
60у-59z=1200 или 2400
У-59/60 . z = 20 или 40
Z e от 0 до 59, следователно единственото цяло число за z е 0.
Следователно у=20 или 40
Ако секундната стрелка е на 0, минутната на 20 или 40 минути, то часовата трябва да е на 40 или 20 минути (8 или 4 часа), което е невъзможно.
Противоречие, следователно няма решение.

[ptj]

Нека часа 00:00:00 условно приемем за 0-лев.
Да допуснем, че съществува време [tex]x[/tex], за което 3-те стрелки са под [tex]120^\circ[/tex] една спрямо друга. Тогава във всеки друг час кратен на [tex]x[/tex] стрелките отново ще са под [tex]120^\circ[/tex] . Понеже часовете [tex]x[/tex] и 12:00:00 имат най-малко общо кратно = час [tex]y[/tex], то в [tex]y[/tex] стрелките трябва от една страна да са под [tex]120^\circ[/tex] една спрямо друга, а от друга да съвпадат (00:00:00), което е противоречие.

И все пак в горното доказателство има пропуск. Да видим дали някой ще го открие?

[Davids]

Нека часа 00:00:00 условно приемем за 0-лев.
Да допуснем, че съществува време [tex]x[/tex], за което 3-те стрелки са под [tex]120^\circ[/tex] една спрямо друга. Тогава във всеки друг час кратен на [tex]x[/tex] стрелките отново ще са под [tex]120^\circ[/tex] . Понеже часовете [tex]x[/tex] и 12:00:00 имат най-малко общо кратно = час [tex]y[/tex], то в [tex]y[/tex] стрелките трябва от една страна да са под [tex]120^\circ[/tex] една спрямо друга, а от друга да съвпадат (00:00:00), което е противоречие.

И все пак в горното доказателство има пропуск. Да видим дали някой ще го открие?

Aз поначало не схващам напълно концепцията (признавам ) на казаното, но това, което ме съмнява, е

... Тогава във всеки друг час кратен на [tex]x[/tex] стрелките отново ще са под [tex]120^\circ[/tex].

Според мен не трябва да е кратен, т.е. другият час да се получава при умножение на $x$ по коефициент, а по-скоро при събиране - т.е. ако добавим $k$ часа, $5k$ минути и $30k$ секунди към времето $x$ (за да се запази отстоянието между стрелките равно - с което и ъгълът също).

[ptj]

Чети всичко, в едно от предните мнения съм обяснил защо стрелките отново ще са под 120[tex]^\circ[/tex]. Пропуска е друг...

[Davids]

Чети всичко, в едно от предните мнения съм обяснил защо стрелките отново ще са под 120[tex]^\circ[/tex]. Пропуска е друг...

Oп, хванал съм се на привиден пропуск, който изрично си пояснил... А и аз си мислех, че последователността се запазва Моя грешка

[yassi]

Нека часа 00:00:00 условно приемем за 0-лев.
Да допуснем, че съществува време [tex]x[/tex], за което 3-те стрелки са под [tex]120^\circ[/tex] една спрямо друга. Тогава във всеки друг час кратен на [tex]x[/tex] стрелките отново ще са под [tex]120^\circ[/tex] . Понеже часовете [tex]x[/tex] и 12:00:00 имат най-малко общо кратно = час [tex]y[/tex], то в [tex]y[/tex] стрелките трябва от една страна да са под [tex]120^\circ[/tex] една спрямо друга, а от друга да съвпадат (00:00:00), което е противоречие.

И все пак в горното доказателство има пропуск. Да видим дали някой ще го открие?

На мен ми се губи концепцията за кратен час. Мисля, че часът който си написал във формат 00:00:00 трябва да го превърнеш в някакво число (друг формат) и след това да търсиш кратни. В този формат може да се търси кратни на час, минути и секунди.
И второто, което е важно е, че часът във формат 00:00:00 не покрива всички времена, а само времената когато секундата е цяла. Образно казано времето е аналогово, а не цифрово и часът(времето) може да бъде 00:00:1/3 , така се изпускат безброй много времена.

[ptj]

Формата на часа е условен - написал съм го само за да поясня какво взимам за час 0.
Грешката е другаде.

[yassi]

Формата на часа е условен - написал съм го само за да поясня какво взимам за час 0.
Грешката е другаде.

Да допуснем, че съм разбрал
Допускаш, че съществува час х в който стрелките са на 120 гр.
След това твърдиш, че на всеки час кратен на х стрелките са на 120 гр.
Това твърдение не е вярно.
Пример: Ако часът е 2ч 15м и 25 сек, стрелките са под някакъв ъгъл ( не е нужно да са 120гр)
Твърдението е, че в 4ч 30м и 50 сек стрелките ще са под същите ъгли, което очевидно не е вярно.
Пробвам символи [tex]\Rightarrow[/tex]

V=6^\circ

[ptj]

Нищо не си разбрал:

...
Ако в часа [tex]x[/tex] едната стрелка е на ъгъл [tex]\alpha[/tex] спрямо 12 часа (по часовникова стрелка), втората на [tex]\alpha+120^\circ[/tex], а третатата на [tex]\alpha+240^\circ[/tex], то в часа [tex]2x[/tex] първата ще е на [tex]2\alpha[/tex], втората на [tex]2(\alpha+120^\circ)=2\alpha+240^\circ[/tex], а третата на [tex]2(\alpha+240^\circ)=2\alpha+480^\circ=2\alpha+120^\circ[/tex].
Т.е. отново ще са под [tex]120^\circ[/tex] една спрямо друга.

[Гост]

Задачата е подсказана от тази https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=58&t=17860#p74380 на Добромир Глухаров, която незаслужено е останала без решение

Ето и от мен - Часовник има секундна стрелка на централната ос. Съществува ли момент от време, в който трите стрелки да са под ъгъл от $120^\circ$ една спрямо друга?

Според мен не.