Задача за движение за 4 клас

[yassi]

Попаднах на тази задача:

Пътят между две хижи се състои от прави и наклонени надолу и нагоре участъци. Турист се движи по равните участъци със скорост 5 км/ч, нагоре - с 4 км/ч и надолу - с 6 км/ч. За изминаване на разстоянието между двете хижи в двете посоки са му необходими 2 ч.
Колко е разстоянието между тях?

Или не мога да я реша или нещо не е вярно в условието.

[Davids]

Би следвало да извлечем средната скорост - 5км/ч и да изразим пътя чрез скорост по време, т.е. $S = vt = 5.2 = 10km$. Понеже не е дадена никаква допълнителна информация и детайли по дължината на отделните типове отсечки спрямо наклона, следователно няма какво повече да се иска от мъниците

[yassi]

Би следвало да извлечем средната скорост - 5км/ч и да изразим пътя чрез скорост по време, т.е. $S = vt = 5.2 = 10km$. Понеже не е дадена никаква допълнителна информация и детайли по дължината на отделните типове отсечки спрямо наклона, следователно няма какво повече да се иска от мъниците

Така е, няма какво повече да се иска от мъничетата
Все пак средната скорост не е 5 км/ч.
Ако равния участък е С1, надолу С2, нагоре С3 и наобратно
средната скорост е 2(С1+С2+С3)/2ч=С1+С2+С3
Грешно е да се взема средна скорост 5км/ч.

Ако скоростите вместо 5, 4 и 6 са 4, 3 и 6 задачата се решава лесно като за 4 клас.
Ако са 5,4 и 6 нещо не е наред.

[Петър Евгениев]

Бих казал нещо за човека дал тази зада на 4-то класник, ама няма да го кажа сега.

[Davids]

То ми е ясно къде са пробойните на идеята ми, но просто се опитвам да мисля през перспективата на четвъртокласник (или поне да покажа идеята, с която е дадена...) макар и да е далеч от коректното решение. Но иначе бих бил в твърде голямо недоумение защо се дава на четвъртокласници въобще.

[S.B.]

Открих автентичния вид на задачата в "Сборник по математика за кандидатстващи в гимназии и техникуми (ученици от 7 и 8 клас)" изд .1993 г.,автори Иван Узунов и Мария Стоицева. Ето и условието:
Турист изминава разстоянието от пункт А до пункт В и обратно за 3 ч. и 41 минути.По пътя има изкачване,равно място и спускане.Колко километра е равното място,ако скоростта на туриста при изкачване е 4 км/ч.,по равното място 5 км/ч. и при спускане е 6 км/ч.,а разстоянието между двата пункта е 9 км?
отг. 4 км
Упътване : ако х км е равното място ,ще получите уравнението [tex]\frac{2х}{5}[/tex] + [tex]\frac{9 - х}{4}[/tex] + [tex]\frac{9 - х}{6}[/tex] = 3[tex]\frac{41}{60}[/tex] и от тук х=4 км.
Тук се търси равното място,но е дадено разстоянието между двата пункта,докато в задачата за 4 клас се търси разстоянието между двата пункта,но не е дадено равното място. Т.е. или нещо е изпуснато или някой се е опитал да "преправи " задачата,така че да става за 4 клас,но явно опита е неуспешен.

[yassi]

Открих автентичния вид на задачата в "Сборник по математика за кандидатстващи в гимназии и техникуми (ученици от 7 и 8 клас)" изд .1993 г.,автори Иван Узунов и Мария Стоицева. Ето и условието:
Турист изминава разстоянието от пункт А до пункт В и обратно за 3 ч. и 41 минути.По пътя има изкачване,равно място и спускане.Колко километра е равното място,ако скоростта на туриста при изкачване е 4 км/ч.,по равното място 5 км/ч. и при спускане е 6 км/ч.,а разстоянието между двата пункта е 9 км?
отг. 4 км
Упътване : ако х км е равното място ,ще получите уравнението [tex]\frac{2х}{5}[/tex] + [tex]\frac{9 - х}{4}[/tex] + [tex]\frac{9 - х}{6}[/tex] = 3[tex]\frac{41}{60}[/tex] и от тук х=4 км.
Тук се търси равното място,но е дадено разстоянието между двата пункта,докато в задачата за 4 клас се търси разстоянието между двата пункта,но не е дадено равното място. Т.е. или нещо е изпуснато или някой се е опитал да "преправи " задачата,така че да става за 4 клас,но явно опита е неуспешен.

Добро утро,
Дъщеря ми е в 4 клас и вчера й дадох тази задача. Бяхме решавали много подобни задачи, като се събират всички времена последователно изразени чрез пътищата С1, С2 и С3 разделени на скоростите и сборът е равен на общото време. Винаги се получава х.(С1+С2+С3)=времето и веднага се изчислява целия път. След 10 мин дъщеря ми каза: Тате не мога да я реша. И аз питам защо? Я да видим и почвам и зациклих, защото скоростите не са подбрани така че да се получи накрая кратно на (С1+С2+С3). Стигнах до извода, че или не мога да я реша или условието е объркано.
Във Вашата задача е дадено общото време, общото разстояние и трите скорости. В моята задача обаче са дадени само общото време и скоростите, липсва един елемент.
Както казах при конкретни скорости задачата се решава лесно от 4 класник. Примерно скоростите са 4, 3 и 6.
Но при скорости 5, 4 и 6 не се получава.
Все пак се заинатих и стигнах до следното решение (или нерешение), а дали правилно разсъждавам?
Решение:
Нека равния участък е С1, надолу С2, нагоре С3. Търсим С1+С2+С3

Правим първо допускане: По равния участък е пътувал в двете посоки 1 час.
Следователно нагоре и надолу в двете посоки е пътувал също 1 час.
2.С1=1.5
С1=5/2 км
С2/6+С3/4+С2/4+С3/6=1
С2+С3=12/5 км
С1+С2+С3=5/2+12/5=4км и 900м

Правим второ допускане:По равния участък е пътувал 30мин.
Следователно нагоре и надолу е пътувал 1,5 часа.
2.С1=0,5.5
С1=5/4 км
С2/6+С3/4+С2/4+С3/6=3/2
С2+С3=18/5 км
С1+С2+С3=5/4 + 18/5 = 101/20 = 5км и 50м

Извод: Решението е неопределено. Или трябва да се добави още един известен елемент (както е в горната задача) или скоростите да се натъкмят така, че да се реши.

[S.B.]

С две думи се потвърждава моето твърдение,че задачата,която сте дали на вашата дъщеря е един нескопосан опит да бъде преправена първоначалната задача.В 4 клас се "пипа" много внимателно.Там преподавателите имат по-специална методика и всеки опит да се "обясни" нещо от неспециалист може да навлече повече "беля" от колкото"файда".Задачата,която сте дали на дъщеря си не може да се реши нито в 4 нито в 7 клас.Оставам с уважение!

[pal702004]

Баш си е коректна задачата. Всеки "неравен" участък ще ги изкачва със скорост 4 км/ч и ще се спуска (на връщане) с 6 км/ч. Което дава средна скорост на този участък 5 км/ч - каквато е и скоростта на равен участък. И в двата варианта на задачата е важно, че средното аритметично на скоростите при изкачване и слизане е равно на скоростта на равен участък. Така че не е важно каква част от пътя е на баир.
Иначе щеше да е важно. Друг е въпроса трябва ли да се дава на четвъртокласници.

[yassi]

Баш си е коректна задачата. Всеки "неравен" участък ще ги изкачва със скорост 4 км/ч и ще се спуска (на връщане) с 6 км/ч. Което дава средна скорост на този участък 5 км/ч - каквато е и скоростта на равен участък. И в двата варианта на задачата е важно, че средното аритметично на скоростите при изкачване и слизане е равно на скоростта на равен участък. Така че не е важно каква част от пътя е на баир.
Иначе щеше да е важно. Друг е въпроса трябва ли да се дава на четвъртокласници.

В задачата не се казва дали нагоре и надолу са равни по разстояние. Първата хижа може да е по-ниско или по-високо от втората. Това че средното аритметично на 4 и 6 е 5 не означава, че средната скорост е 5км/ч. Дори ако си представите улеснено условие, някой се движил по права един участък се движил с 4 а другия с 6 км/ч това не означава, че средната скорост е 5. Средната скорост е целия път делено на цялото време.
След като проверих задачата, смених скоростите с 4, 3 и 6 и дъщеря ми я реши без проблем. Така че задачата си е баш за 4 клас, но който я е писал не си я проверил. Решете задачата с 4, 3 и 6 и ще видите че въобще няма значение колко са дълги равните и нагоре и надолу участъци. Трите можа да са съвсем различни, важното е че сборът им се получава винаги един и същ.

[yassi]

С две думи се потвърждава моето твърдение,че задачата,която сте дали на вашата дъщеря е един нескопосан опит да бъде преправена първоначалната задача.В 4 клас се "пипа" много внимателно.Там преподавателите имат по-специална методика и всеки опит да се "обясни" нещо от неспециалист може да навлече повече "беля" от колкото"файда".Задачата,която сте дали на дъщеря си не може да се реши нито в 4 нито в 7 клас.Оставам с уважение!

Задачата си е за 4 клас, просто са сгрешени скоростите. Решете я с 4,3 и 6 км/ч. Няма да ви затрудни. А аз дадох тази задача на дъщеря ми защото бяхме решавали няколко подобни и исках да проверя какво е запомнила. Не предполагах първоначално, че задачата е сгрешена. По презумпция приемам, че задачата е вярна. Сгрешена задача - човешко е, няма страшно, особено ако разберем грешката. Всичко е възможно - техническа грешка и други. И на мен ми се е случвало да си мисля 3, а да напиша 4 без да разбера защо. Рядко, но се случва.

[pal702004]

В задачата не се казва дали нагоре и надолу са равни по разстояние.

Нагоре и надолу винаги са равни по разстояние, защото всяко изкачване в едната посока е слизане в другата.

Решете задачата с 4, 3 и 6 и ще видите че въобще няма значение колко са дълги равните и нагоре и надолу участъци.

Кажете ми отговора на вашата задача, ако:
а) целия път е равен
б) целия път е изкачване (слизане на връщане).

[yassi]

В задачата не се казва дали нагоре и надолу са равни по разстояние.

Нагоре и надолу винаги са равни по разстояние, защото всяко изкачване в едната посока е слизане в другата.

Решете задачата с 4, 3 и 6 и ще видите че въобще няма значение колко са дълги равните и нагоре и надолу участъци.

Кажете ми отговора на вашата задача, ако:
а) целия път е равен
б) целия път е изкачване (слизане на връщане).

Задачата ще Ви я реша, само уточнете за 5,4 и 6 или за 4,3 и 6 говорите.
Относно средната скорост:
Общо нагоре = Общо надолу (отиване и връщане)
Махам равния участък, защото невярното във Вашите разсъждения е, че средната скорост по пътя нагоре-надолу-нагоре-надолу е 5км/ч
Свеждам до следната задача:
Човек минал половината път с 4км/ч, а втората половина с 6 км/ч. Вярно ли е че средната скорост е 5км/ч? Не е вярно.
Няма да пиша с неизвестни, направо пример:
Целия път е 24км. Половината е 12 км.
Първата половина минал за 12/4=3 часа
Втората половина минал за 12/6=2 часа
Целия път минал за 2+3=5 часа
Целия път = 24км
Средната скорост=24/5 км/ч, което не е 5.

[yassi]

Аз приключвам с тази тема.
Ако скоростите са 4,3 и 6 задачата се решава така:
Равен - С1
Нагоре - С2
Надолу - С3

Времето е:
С1/4 + С2/3+С3/6+С3/3+С2/6+С1/4 = 2 часа
С1/2+С2/2+С3/2=2
С1+С2+С3=4км, което се търси.
Няма никакво значение дали нагоре, надолу, на равното разстоянията са равни или не.
Точно задача за 4 клас.
Другият важен момент е, че средната скорост не е средно аритметичното от различните скорости. Средната скорост е целия път делено на цялото време. В частен случай само е равно на средното аритметично.

[pal702004]

Съгласен съм, yassi

Необходимо е $\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}=\frac{2}{v_0}$

Тоест, скоростта на равен участик да е средно хармонично (а не аритметично) от другите две скорости.

[drago]

Не четох всички коментари, но според мен не сте разбрали условието. Аз го схващм така: От хижа А до хижа Б се стига за 2ч, от хижа Б до хижа А също за 2ч.
При това положение, лесно се вижда, че нагорнището и надолнището са равни, като път, а от това, че се взема за 2ч. следва, че въобще ги няма и разстоянието е 10км.

[pal702004]

Не четох всички коментари, но според мен не сте разбрали условието. Аз го схващм така: От хижа А до хижа Б се стига за 2ч, от хижа Б до хижа А също за 2ч.
При това положение, лесно се вижда, че нагорнището и надолнището са равни, като път, а от това, че се взема за 2ч. следва, че въобще ги няма и разстоянието е 10км.

Да, така е коректна и е на нивото на 4-ти клас. Но ако е така, много нескопосано е поднесено условието от авторите:

За изминаване на разстоянието между двете хижи в двете посоки са му необходими 2 ч

[ptj]

Задачата си е коректна и е достъпна за състезатели 4-то класници . Идеята на решението е, че на връщане посоката на всеки един участък спрямо отиване се сменя, а равните участъци се умножават по 2.

Понеже [tex](4+6)/2=5[/tex], то средната скорост на туриста във всеки един участък (в двете посоки) е 5[tex]км/ч[/tex].

Тогава разстоянието между двете хижи е (2ч.5км/ч):2=5км.

[drago]

Задачата си е коректна и е достъпна за състезатели 4-то класници . Идеята на решението е, че на връщане посоката на всеки един участък спрямо отиване се сменя, а равните участъци се умножават по 2.

Понеже [tex](4+6)/2=5[/tex], то средната скорост на туриста във всеки един участък (в двете посоки) е 5[tex]км/ч[/tex].

Тогава разстоянието между двете хижи е (2ч.5км/ч):2=5км.

Това не го разбирам какво е?

@pal702004: Да, условието е малко двусмислено написано, но друга интерпретация няма. Т.е. има , ама тя не става, щото не е коректна.

[ptj]

Обяснение на ниво 4-то класник.

И аз понякога решавам, не това което чета, но за конкретния случай условието е коректно.

[yassi]

С

[drago]

@yassi : Да ти го кажа направо. Малко ме интересува каква е родата ти. Прочети внимателно какво съм написал по-горе и тогава коментирай. Ама конкретно по същество. Задачата не е грешна, просто не си я разбрал както трябва. Може би за това има вина и самата формулировка...да, за това съм съм съгласен...

EDIT: O.. виждам, че си го изтрил...

[yassi]

@yassi : Да ти го кажа направо. Малко ме интересува каква е родата ти. Прочети внимателно какво съм написал по-горе и тогава коментирай. Ама конкретно по същество. Задачата не е грешна, просто не си я разбрал както трябва. Може би за това има вина и самата формулировка...да, за това съм съм съгласен...

EDIT: O.. виждам, че си го изтрил...

Аз много добре прочетох какво си написал. И не е вярно.
Вие тълкувате задачата, че времето от едната хижа до другата е равно на времето на обратно е равно на 2 часа.
Тълкуването и променянето на условието на задача въобще не е позволено. В задачата е казано, че времето е на отиване и връщане.
Но, както и да е, ще ви я реша и така като я тълкувате и ще ви докажа, че не е вярно.
Понеже не мога да чертая да назовем пътя ABCD.
AB - равен, BC - надолу, CD - нагоре.
Туристът е минал AB, BC, CD, DC, CB и BA.
От вашето твърдение, че времето на отиване е равно на времето на връщане :
t(ABCD)=t(DCBA)
t(AB)=t(BA)
следователно t(BCD)=t(DCB)
t(BCD)=BC/6 + CD/4 = t(DCB)=CD/6 + CB/4
следователно BC=CD=x
Вашето решение продължава с твърдението, че общата средна скорост е 5км/ч . (Казвате, че разстоянието е 10км за 2 часа, което е 5км/ч)
За отсечката AB всичко е ясно - движи се с 5 км/ч
Каква е средната скорост тогава на отсечката BCD? За DCB не смятаме, тъй като доказахме, че BC=CD.
Vср(BCD) = (BC+CD)/t=2x/t
t=t(BC)+t(CD)=BC/V1+CD/V2=x/6+x/4 = 5/12 . x
Vср=2x/t=2x/(5/12 . x) = 24/5 км/ч
Следователно средната скорост по отсечките BCD и DCB e 24/5 км/ч, което не е 5 км/ч.
И цялото ви решение е грешно от допускането че средната скорост е средно аритметично.
Дори горе бях дал пример с конкретни числа. Ако пътя е 24км, първата половина е мината с 4км/ч, а втората с 6 км/ч то средната скорост не е 5 км/ч.
Много е изкушаващо като видиш равни отсечки с различни скорости да вземеш средната скорост за средното аритметично. (4+6)/2=5.
Няма значение за каква скорост говорим, тя се решава с основното уравнение за движение: V=S/t
В частен случай може да намерите кога средната скорост е равна на средното аритметично: S/t = (V1+V2)/2 . Това е само частен случай.

[ptj]

yassi,

Прав си, но е добре да се опиташ да обясняваш малко по-кратко и рационално.

Можеше да напишеш само [tex]\frac{x}{6}=\frac{x}{4}[/tex], т.е. когато преобладаващата част (останалата клони към 0) от пътя на туриста в едната посока е изкачване, а в другата -слизане, времената за изминаване на разстоянието между двете хижи oчевAдно са различни.

[yassi]

yassi,

Прав си, но е добре да се опиташ да обясняваш малко по-кратко и рационално.

Можеше да напишеш само [tex]\frac{x}{6}=\frac{x}{4}[/tex], т.е. когато преобладаващата част (останалата клони към 0) от пътя на туриста в едната посока е изкачване, а в другата -слизане, времената за изминаване на разстоянието между двете хижи oчевAдно са различни.

Прав си, мога и по-кратко. Проблемът е, че трябва да им докажа, че средната скорост не е средното аритметично. За да го осъзнаят, трябва да го опиша подробно. Ако човек осъзнае, че средната скорост не е средното аритметично си прав, повече от половината писаници отпадат.
Дори имах намерение да опиша как може да си съставим безброй задачи от този тип, но се отклоних да обяснявам основни неща.
Ето сега ще ви реша задачата как да си направим безброй задачи от този тип.
Задачата е: Турист се движил по равното със скорост V1, надолу с V2 и нагоре с V3, времето му на отиване и връщане е t. Да се намерят V1, V2 и V3 при които може еднозначно да се намери разстоянието между хижите.
Решение:
t=2.S1/V1 + S2/V2 + S3/V3 + S3/V2 + S2/V3
t=(2/V1).S1 + ((V3+V2)/(V2.V3)).(S2+S3)
S=S1+S2+S3
За да има еднозначно решение за S, трябва множителя пред S1 и пред (S2+S3) да са равни за да можем да ги вкараме в скоби x.(S1+S2+S3)=x.S
Следователно за да има еднозначно решение за S, (2/V1)=(V3+V2)/(V2.V3) или
2.V2.V3=V1(V2+V3)
Или ако подберем така трите скорости, че да изпълняват горното решение винаги ще има еднозначно решение за пътя:
Примери:
Ако Изберем V2=3, V3=6, то V1=4 и съставяме горната задача с тези скорости.
Ако изберем V2=10, V3=15, то V1=12 и съставяме горната задача
И така нататък колкото си задачи искаме.
Времето t е просто множител и може да си го избираме както си искаме и така увеличаваме броя на създадените задачи.
В конкретната задача скоростите са 5, 4 и 6
Като ги заместим в горното равенство се вижда че 48=50, което не е вярно, значи с тези скорости няма еднозначно решение.