Задача от 4 клас за прием в МГ

[pepi_mih]

Нямам никаква идея за тази задача....Моля Ви предложете ми решение..
Задача: През всеки от дните на месец април Ани спестявала по няколко лева. На 1 април тя спестила 8 лв. , а на 30 април - също 8 лв. Разликата между парите , спестени от нея в два последователни дни била най-много 2 лв. Колко лева е най-голямата възможна обща сума, която може да е събрала Ани през месец април ? Отговор : 660лв.
Благодаря предварително!
Може би за първите 15 дни - като нарастваща сума...а за вторите - намаляваща....... и по Гаус ??????

[KOPMOPAH]

Пак в търсене на малки Гаусчета

Дали в четвърти клас са учили прогресии или малките трябва да събират и изваждат като грешници 30 двуцифрени числа? Какво ли нестандартно решение може да се очаква от малкия човек?

[pepi_mih]

Да , с прогресия се решава. Трудно ми е обяснението за 4 клас ))

[Петър Евгениев]

Да , с прогресия се решава. Трудно ми е обяснението за 4 клас ))

Ами няма как, това е.
Почваш да му обясняваш какво е аритметична прогресия или го оставяш да преоткрие формулата като Гаус. Авторите са от СМГ-то или подобни МГ-та, където изпита е буквално им се казва "Търсене на таланти" a.k.a. кой е учил материал за по-горен клас.
П.С. Не, че е много сложна формулата или нещо, което децата не могат да разберат като им обясниш както трябва, но това искане за 4 клас решение не мисля, че ще намериш.

[ptj]

Ясно е, че от 1 до 30 има 30 числа, т.е. в сумата [tex](S)[/tex] ще има 30 събираеми. При това сумата от тези по-големи от предхождащото ги е равна на сумата от тези по-малки от предхождащото ги. Освен това ако сменим две съседни събираеми общата сума очевидно не се променя. Тогава с подобни операции може да подредим събираемите започвайки от първото във възходящ ред и след него в низходящ ред до последното.

Да започнем да разглеждаме числата във възходящата редица- второто е най-много [tex]8+2[/tex], 3-тото [tex](8+2)+2[/tex],... последното [tex]k-то[/tex] поред ще е [tex](...(8+2)+...2)=8+2(k-1)=6+2k[/tex].

Аналогично ако разгледаме низходящата редица отзад напред (от последното към най-голямото) , то тя ще е възходяща и ще изглежда по същия начин както написаната по-горе.

Тогава във всяка от двете редици ще има точно по 15 събираеми (k=15):

[tex]S=(8+0)+(8+2)+(8+4)...+(8+13.2)+(8+14.2)+(8+14.2)+(8+13.2)+...+(8+2)+(8+0)=[/tex]

[tex]=2(8+10+12+...+36)= 2 ((8+36)+(10+34)+(12+32)+(14+30)+(16+28)+(18+26)+(20+24)+22)=2(7.44+22)=2(308+22)=660[/tex]

[pal702004]

ptj, проблема на топикстартера не е, че не може да реши задачите, а това, че не може да обясни решението на 10-годишното си дете. От това, което си написал по-горе, аз, като доста над възрастта на четвъртокласник, бих приел безусловно само първото изречение.

Ясно е, че от 1 до 30 има 30 числа, т.е. в сумата (S) ще има 30 събираеми

Оттам нататък - извинявай.
Аз бих се опитал да обоснова максимума по следния начин:
Сбора на първото и последното число е 16 ( по условие)
Сбора на второто и предпоследното не може да превишава 20 (заради ограниченията)...При това може да е равна на 20 само при условие, че второто е с 2 по-голямо от първото и предпоследното е с 2 по-голямо от последното.
Сбора от третото и пред-пред-последното не може да е по-голямо от 24 и т.н. Макар да не е формално издържано, има логика. (би ми отнело известно време, което нямам, да го формализирам)

Накрая, доколкото виждам, предлагаш да не преоткриват формулата за първите n члена на аритм. преогресия, ами да си събират (ако са хитри - 15 събираеми, ако са прости - 30)...може.

P.S. Макар да се създава такова усещане от последните ми постове, не искам да оставаш с впечатление, че се заяждам. Или че имам негативно отношение към теб - напротив, харесва ми, че защитаваш колегите си, но с някои неща принципно не мога да се съглася.
И че това претрупване и, как да го кажа...избързване, поставяне на каруцата преди магарето... не помага на децата да станат добри математици - напротив, подтиска им самочувствието, мислят се за тъпи, намразват я.

[ptj]

Точно от теб надали ще се обидя някога.

Иначе на авторите на задачи за 4-ти клас бих препоръчал повече ребуси, шахматни дъски, нареждане на плочки, теория на игрите и други нестандартни задачи. Много хубава книга по тази тема са 2-та тома "Математически развлечения" на Мартин Гарднер.

https://www.livelib.ru/author/1094/top-martin-gardner

[drago]

...Освен това ако сменим две съседни събираеми общата сума очевидно не се променя. Тогава с подобни операции може да подредим събираемите започвайки от първото във възходящ ред и след него в низходящ ред до последното.

Не съм съгласен, не говоря като обяснение за 4-ти клас, а въобще. Как точно да ги подредим във възходящ и после в низходящ ред.
Например $8, 9,11,13, 11,9,8$ може да я подредим така $8, 13, 11, 11, 9, 9, 8$, или $8, 9, 9, 11, 11, 13, 8$. И двата начина не се вписват в по-нанатъшното ти разсъждение. Не казвам, че не може да се оправи, но трябва по-точно да се конструира подредбата.

Аз лично бих го обяснил това за максималната редица така. Да си представим, че Ани спестява по някакъв начин, като се съобразява с правилата. Едновременно с нея спестява спестява и Боби, но точно по този начин: $8,10,12,\dots, 8+14\cdot 2, 8+13\cdot 2,\dots,10,8$. Да съобразим защо във всеки един момент(ден), парите на Боби не могат да бъдат по-малко от тези на Ани. Ами, да допуснем, че има такъв ден. Ако този ден е преди или тояно на 15-то число, няма как, защото там тези на Бобо нарастват с максималното позволено темпо. Ако този ден е след 15-то чиссло, то пак не става, защото Ани няма да смогне да достигне $8$-те лева без да прескочи прага от падането с макс. 2 лева. И така, такъв вариант няма. Следователно Боби играе максимално изгодно.
Според мен обосновката за максималната сума е нещото, което трябва да има повече тежест в оценяването. Това със сумирането е технически трик, което трябва да знаят как се прави(историята за малкия Гаус). Не формулата, а някой трябва да ги е научил на чалъма - това, че събираш първото с последното, второто с предпосл. и т.н. Всяко дете, което има интерес ще възприеме това без проблем.

Съзнавам, че мога да бъда атакуван за много неща, напр. че е малко абстрактно за 4-ти клас, или това за изключването на трето(допускане на противаното). Но на тази възраст никой не иска тези неща да бъдат дефинирани формално и никой няма да ги оценява колко формално са описали нещата. Абе всеки първокласник знае, че щом не е топло в къщи значи не е включена печката. Защото, ако беше включена, щеше да е топло. Това разсъждение по-късно си има име в логиката и математиката, но няма нужда да го знаеш, за да използваш здравия си разум.

И нещо друго. Дайте да не говорим от името на децата, какво им потиска самочувствието и кое кое ги поощрява. Тези неща са много индивидуални и не може да ограничаваме трудноста за тези които го искат, само да не уйдисаме на други, дето не го искат. Нека те сами определят интересите си, ние само може да ги подкрепяме, без да ставаме твърде обсебени да ги направим нещо, което може би те не искат.
В края на краищата тази задача не е в учебник. Те не учат такива неща в 4-ти клас и никой няма да ги изпитва на това. Такива задачи могат да дадат на ученици, които се предполага, че имат изразен интерес и матем. способности. И са отишли по желание да кандидатсват в СМГ, където приемат...не знам, сигурно само няколко паралелки от цяла София.
... айде, че много натракакх.

[ptj]

О.К. Съгласен с забележката. Подредбата може да се замени със "специална" -
Числата (сумите) да са подредени в нарастващ ред на следните позиции: 1,30,2,29,3,28,4,27,5,26,6,25,7,24,...,15,16. Но обосновката на останалите факти иска още писане...

Харесва ми идеята на drago, още повече че за нея може да се направи графично обяснение чрез рекурсия (вписан маршрут, триъгълник).

Даже наскоро имаше задача с аналогична схема : https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=6&t=22595

П.П. Това е един вид аналог на триъгълника на Паскал, но ми се струва че искаме прекалено много от децата...

[drago]

Подредбата може да се замени със "специална". Числата (сумите) да са подредени в нарастващ ред на следните позиции: 1,30,2,29,3,28,4,27,5,26,6,25,7,24,...,15,16. Но обосновката на останалите факти иска още писане...

Аха, добре. Като я направиш, ама точно по този начин, се обади!

[Гост]

Тази задача ти трябва логика и късмет да нацелиш отговора.