Задача за 4 клас

[pepi_mih]

Моля, посочете ми решение на следната задача за 4 клас.Не мога да намеря рационално решение, освен изписване на всички възможни комбинации......,
Задача: Колко на брой са трицифрените числа, в записа на които участва двойка цифри с разлика 6?
(Например , числото 197 е от искания вид, тъй като 1 и 7 имат разлика 6 )
Отговора е 191.

[pepi_mih]

Тази разлика може да се получи при двойките от цифри 7 -1 ; 8-2 ; 9 - 3 и 6 -0'
Отчитайки различните позиции в числата на всяка двойка от цифрите ,получаваме
за двойките 7-1 ; 8-2 и 9 - 3 ( без 0 на първа позиция ) по 57 възможности
т.е 3 х 57 = 171 възможности
за двойката цифри 6 -0 - 38 възможности ( без 0 на първа позиция)
По правилото за събиране на възможности получаваме
171 + 38 = 209 но отговора е 191 ??? Къде ми е грешката ???

[KOPMOPAH]

... за двойките 7-1 ; 8-2 и 9 - 3 ( без 0 на първа позиция ) по 57 възможности...

Не са $57$, а $52$
$3\times 52=156$

... за двойката цифри 6 -0 - 38 възможности ( без 0 на първа позиция)...

Не са $38$, а $35$
$156+35=191$ и получаваме отговора.

За мен е по-интересно как се очаква от четвъртокласника да реши тази задача по друг начин, освен изброяване на всички възможни допустими комбинации, с всички евентуални грешки и пропуски, от които и родителите не са застраховани. Много ми се ще да видя решението на съставителите на задачата

Скрит текст: покажи

и да им запиша имената на все още неосъществената "Стена на срама"

[pepi_mih]

Благодаря за отговора !
В задачата не е упоменато , че трицифрените числа трябва да са с различни цифри. В такъв случай за свободната позиция има 10 възможности ( всичките 10 цифри ).Моля да ми поясните, как получавате 52 възможности за дадена двойка цифри ?

[KOPMOPAH]

Ще илюстрирам с двойката $7-1$

Възможните комбинации са $71x$, $17x$, $7x1$, $1x7$, $x71$, $x17$
$$\begin{matrix}
71x& 17x& 7x1& 1x7& x71& x17\\
\hline
710& 170& 701& 107& \cancel{171}& \cancel{117}\\
711& 171& \cancel{711}& 117& 271& 217\\
712& 172& 721& 127& 371& 317\\
713& 173& 731& 137& 471& 417\\
714& 174& 741& 147& 571& 517\\
715& 175& 751& 157& 671& 617\\
716& 176& 761& 167& \cancel{771}& \cancel{717}\\
717& 177& 771& \cancel{177}& 871& 817\\
718& 178& 781& 187& 971& 917\\
719& 179& 791& 197&\\
\hline
10& +10& +9& +9& +7& +7& =52

\end{matrix}$$

[pepi_mih]

Благодаря! )))))))) Не съм съобразила повтарящите се числа >)))))

[KOPMOPAH]

Благодаря! )))))))) Не съм съобразила повтарящите се числа >)))))

Моля
Но въпросът е дали ЧЕТВЪРТОКЛАСНИКЪТ може да съобрази всичко това. Вижда се, че отпадат числата, съставени САМО от въпросните цифри. Дано някой покаже по-рационален метод за решаване - това тук е счетоводство, без особена фантазия. Математиката е нещо друго!

[Qni57]

Решение на задачата?
Иван трябва да разположи 128 числа в таблица, в която броят на редовете е с 8 повече от броя на колоните. Във всяка клетка на таблицата той трябва да запише по едно от числата. Колко реда има в таблица?

[KOPMOPAH]

Решение на задачата?
Иван трябва да разположи 128 числа в таблица, в която броят на редовете е с 8 повече от броя на колоните. Във всяка клетка на таблицата той трябва да запише по едно от числата. Колко реда има в таблица?

Иван ще разположи числата в $x$ реда и в $x-8$ колони. Значи цялата таблица е с размер $x \times (x-8)$ и това произведение е равно на $128$.
Получаваме квадратното уравнение $$x(x-8)=128$$
Доколкото задачата е в раздела "...Олимпиади/състезания ‹ Състезания за 1-4 клас" допускам, че състезателите или са учили в $4$ клас квадратни уравнения, или владеят някаква друга техника, чрез която да получат решенията $x_1=-8$, $x_2=16$.

Отговор:$16$ реда.

[drago]

Но въпросът е дали ЧЕТВЪРТОКЛАСНИКЪТ може да съобрази всичко това. Вижда се, че отпадат числата, съставени САМО от въпросните цифри. Дано някой покаже по-рационален метод за решаване - това тук е счетоводство, без особена фантазия. Математиката е нещо друго!

Нека опитам нещао без счетоводство. Но първо условието на задачата, че стана гювеч. (Моля вкарвайте различните задачи в различни теми.)

Задача: Колко на брой са трицифрените числа, в записа на които участва двойка цифри с разлика 6?
Нека с $S$ означим (множеството от) четирите групи от цифри: $\{0,6\}, \{1,7\}, \{2,8\}, \{3,9\}$. Цифрите на всяко едно число, което удовлетворява условието се образуват като вземем една група цифри от $S$ и добавим още една (коя да е) цифра от 0 до 9 (общо 10).
Следователно броят на групите (мултимножествата) от $3$ цифри, които стават са $4\cdot 10=40$. Обърнете внимание, че между тези $40$ групи от цифри няма еднакви групи. Това означава, че две възможни числа съставени от различни групи цифри няма да са еднакви.
Сега можем да разместваме(пермутираме) числата от всяка група и да получаваме различните числа, като те няма да бъдат само трицифрени, а и двуцифрени, едноцифрени, т.е и такива, които на първо и даже второ място стои нула. Първо да видим колко са те и после ще махнем едно/дву/цифрените.
Забележете, че ако няма еднакви цифри в групата, ние можем да ги раместим по $6 (3!)$ начина и да получаваме различни числа. Ако има две еднакви цифри, тогава броят на различните размествания в групата е $3$ тъйа като ако разменяма еднаквите цифри ще получаваме еднакви числа. Напр. от $1,1,7$ могат да се получат само 3 различни числа $117,171,711$. Група от три еднакви цифри няма.
И така всяка група двойки цифри от $S$ можем комбинираме с $8$ цифри и да получим три различни цифри, а комбинирайки групата с останалите две цифри ще получим тройка с две еднакви цифри. Например за $1,7$ - като добавяме цифрите $0,2,3,4,5,6,8,9$ ще получим тройка от три различни цифри, а като добавяме $1$ или $7$ ще получим тройка с две еднакви цифри. И така измежду споменатите $40$ тройки, $4\cdot 8=32$ са от различни цифри, а в останалите $4\cdot 2=8$ има две еднакви цифри.
Значи всички набори (пермутации) от тези групи са $32\cdot 6+8\cdot3=\boxed{216}$. Сега да видим в колко от тях нулата е на първо място, щото тях трябва да ги махнем.

Нула на първо място може да получим евентуално, като към цифрите $0,6$ добавим коя да е друга цифра или като към другите $3$ групи от $S$ добавяме цифрата $0$. Да разгледаме тези две възможности:

1) Ako към $\{0,6\}$ добавим цифрата $6$ ще получим само един набор започващ с $0$, т.е. $066$. Ако към $\{0,6\}$ добавяйки всяка от останалите $9$ цифри получавме по два набора $0x6, 06x$.
И така в този случай имаме $1+9\cdot 2=19$ различни числа започващи с $0$.
2) Към $0$ добавме една от трите групи цифри $\{1,7\}, \{2,8\},\{3,9\}$. Получавме група от $3$ различни цифри. От всяка от тях имаме само два набора с $0$ отпред $0xy,0yx$. И така в този случай имаме $3\cdot 2=6$ числа започващи с нула.

И така, числата започващи с $0$ общо са $19+6=\boxed{25}$. Значи, като махнем $25$ от $216$ получаваме $216-25=\boxed{191}$ трицифрени числа, в записа на които има две цифри с разлика $6$.

[Mailo]

3*52=156
156+35=191

[Гост]

Моля, посочете ми решение на следната задача за 4 клас.Не мога да намеря рационално решение, освен изписване на всички възможни комбинации......,
Задача: Колко на брой са трицифрените числа, в записа на които участва двойка цифри с разлика 6?
(Например , числото 197 е от искания вид, тъй като 1 и 7 имат разлика 6 )
Отговора е 191.

Така. Вие сте написали математически начин, по който сте решили задачата. Не е нужно и аз да пиша решение, защото вече има няколко. Аз предлагам решение с програма.

Ето програмата на C++:

Код: Избери целия код

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    int answer = 0;
    int dig1, dig2, dig3;
    int raz1, raz2, raz3;

    for (int i = 100; i <= 999; i++)
    {
        dig1 = i / 100;
        dig2 = i % 100 / 10;
        dig3 = i % 10;

        raz1 = abs(dig1 - dig2);
        raz2 = abs(dig1 - dig3);
        raz3 = abs(dig2 - dig3);

        if (raz1 == 6 || raz2 == 6 || raz3 == 6)
        {
            answer++;
        }
    }

    cout << answer << endl;

    //Answer: 191

    return 0;
}


Резултатът от програмата на C++ е [tex]191[/tex].

До тук имаме съвпадение.

Ето същата програма написана на Java:

Код: Избери целия код

public class Problem_4_grade
{

    public static void main(String[] args)
    {
        int answer = 0;
        int dig1, dig2, dig3;
        int raz1, raz2, raz3;
       
        for (int i = 100; i <= 999; i++)
        {
            dig1 = i / 100;
            dig2 = i % 100 / 10;
            dig3 = i % 10;
           
            raz1 = Math.abs(dig1 - dig2);
            raz2 = Math.abs(dig1 - dig3);
            raz3 = Math.abs(dig2 - dig3);
           
            if (raz1 == 6 || raz2 == 6 || raz3 == 6)
            {
                answer++;
            }
        }
       
        System.out.println(answer);
    }
}

Резултатът от програмата на Java е [tex]191[/tex].

До тук имаме съвпадение.

Ето същата и последна програма в това съобщение на Python:

Код: Избери целия код

import math

answer = 0

dig1 = 0
dig2 = 0
dig3 = 0

raz1 = 0
raz2 = 0
raz3 = 0

for i in range(100, 1000) :
    dig1 = int(i / 100)
    dig2 = int(int(i % 100) / 10)
    dig3 = int(i % 10)
   
    raz1 = math.fabs(dig1 - dig2)
    raz2 = math.fabs(dig1 - dig3)
    raz3 = math.fabs(dig2 - dig3);
   
    if int(raz1) == 6 or int(raz2) == 6 or int(raz3) == 6 :
        answer += 1

print(answer)

Резултатът от програмата на Python е [tex]191[/tex].

(Знам, че някои неща по кодовете ми са излишни и може да се направи по-добре, но съм начинаещ в програмирането.)

И трите програми изкарват един и същи резултат: [tex]191[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

Отг. [tex]191[/tex]