РАСТЯЩИ ЧИСЛА

[Гост]

IMG_20221115_030731.jpg (468.41 KiB) Прегледано 847 пъти

Някой може ли да ми обясни решението на тази задача? Прикачвам и задачата, и отговора към нея. Благодаря предварително!

[peyo]

Доколкото виждам отговора на тази задача се свежда до преброяване на ръка на всички числа, които отговарят на условието. Надявам се да разрешват на децата да ползват сметало.

Да решим по-генералната задача:

Ако имаме множество от $n$ на брой уникални стойности, по колко начина можем да ги наредим в растящ ред с дължина $m$ $(m \le n)$?

[Nathi123]

Решението ,което е дадено ,започва с броенето на ,,растящите числа" ( трицифрени) ,които започват с 3 .Това са числата 345,346,347,348,349,
356,357,358,359,
367,368,369,
378,379,
389! ( определението за растящи числа е:такива числа,при които всяка следваща цифра е по - голяма от предходната). Затова получаваме, че броят им е 5 + 4 +3 +2 + 1=15.
Така растящите числа ,които започват с цифрата 4 и са трицифрени са : 456,457,458,459
467,468,469,
478,479,
489
т.е. 4 + 3 +2 +1 =10 на брой. Така очевидно повече на брой ще са тези растящи трицифрени числа,започващи с цифрата 1 или 2 . Успех по нататък в писането на останалите растящи трицифрени числа ,които не съм написала и тяхното преброяване.

[peyo]

Да решим по-генералната задача:

Ако имаме множество от $n$ на брой уникални стойности, по колко начина можем да ги наредим в растящ ред с дължина $m$ $(m \le n)$?

Да решим тази задача изпoлзвайки метод на вероятностите.

В началото имаме n на брой различни числа и m на брой позиции които трябва да запълним. Взимаме 1 число от n, ков да е. Къде може да го сложим така, че крайната редица да е в растящ ред? Навсякъде. Значи вероятността е 1:
1*
Вземаме число 2. Къде може да го сложим така, че крайната редица да е в растящ ред? Или пред зад 1-вото число. Значи вероятността да уцелим правилния ред е 1/2. Става:
1*(1/2)
Вземаме число 3. Къде може да го сложим така, че крайната редица да е в растящ ред? Или пред зад 1-вото число, или между 1 и 2 или зад 2. Но само една от тези позиции е вярната и всяка е равновероятна. Значи вероятността да уцелим правилния ред е 1/3. Става:
1*(1/2)*(1/3)
и т. н. ...
И така при m позиции вероятността да получим накрая редица в растящ ред е:

[tex]p_m=\frac{1}{m!}[/tex]

И сега колко възможни пермутации с дължина m имаме от n различни елемента?
[tex]M = \frac{n!}{(n-m)!}[/tex]

И сега какъв е броят на растящите редици? Това е броят на всички редици по вероятността за растяща редица:

[tex]R = \frac{1}{m!}*\frac{n!}{(n-m)!} = {n \choose m}[/tex]

По някакво странно стечение на обстоятелствата Сър Нютон се набърка и той в нашата задача. Да проверим дали е вярно. В задачата ни по-горе m=3, n=9

[tex]R = {9 \choose 3}[/tex]

In [111]: import scipy.special

In [112]: scipy.special.binom(9,3)
Out[112]: 84.0