Задача от сборник за 4 клас

[Гост]

Галя направи ремонт на хола си, който има форма на квадрат. В средата постави квадратен килим, а останалата част от пода покри с еднакви по размер квадратни плочки със страна 20 см., оцветени в два цвята - бял и сив. Галя огради килима с три ивици от плочки. Първата ивица беше само от бели плочки, втората само от сиви и третата отново беше само от бели плочки. Броят на всички бели плочки, неонходими за ремонта на целия хол, беше със 112 повече от боря на сивите плочки. Колко метра е обиколката на килима?

[peyo]

Галя направи ремонт на хола си, който има форма на квадрат. В средата постави квадратен килим, а останалата част от пода покри с еднакви по размер квадратни плочки със страна 20 см., оцветени в два цвята - бял и сив. Галя огради килима с три ивици от плочки. Първата ивица беше само от бели плочки, втората само от сиви и третата отново беше само от бели плочки. Броят на всички бели плочки, неонходими за ремонта на целия хол, беше със 112 повече от боря на сивите плочки. Колко метра е обиколката на килима?

Първо да намерим функция която ни дава колко квадрата има на разстояние x от центъра.

Код: Избери целия код

44444444
43333334
43222234
43211234
43211234
43222234
43333334
44444444

1 - 4
2 - 12
3 - 20

С малко налучкване или мислене намираме:
$n(x) = 8x-4$

И сега можем да съставим уравнението от условието:

$n(x)+n(x+2)=n(x+1)+112$

Заместваме и решаваме.

$8x-4+8(x+2)-4=8(x+1)-4+112$

$8x=108$

In [11]: 108/8
Out[11]: 13.5

Това не е цяло число, значи задачата няма решение.

[ammornil]

Скрит текст: покажи

НЕ виждам как да се реши без уравнение. Почти съм сигурен, че това не се учи в материала до 4-ти клас.
Всяка външна рамка има по [tex]4[/tex] плочки повече от тази след нея. Ако най-външната рамка има [tex]x[/tex] плочки, то втората има [tex]x-4[/tex] плочки, а третата има [tex](x-4)-4=x-8[/tex] плочки. Знаем, че [tex]x+x-8=x-4+112 \Leftrightarrow 2x-x=108+8 \Leftrightarrow x=116[/tex]. Най вътрешната рамка има [tex]116-8=108[/tex] плочки. Понеже огражда квадрат и плочките имат форма на квадрат, формата на рамката също е квадрат, което значи че четирите страни са равни, от тях [tex](108-4)\div{4}=26[/tex] плочки имат обща страна с килима, следователно килимът има страна равна на [tex]26\cdot{20}=520[cm] \Rightarrow P=4\cdot{520}=2080[cm][/tex].

Променено поради логическа грешка. Моля вижте следващия ми пост.

[peyo]

Всяка външна рамка има по [tex]4[/tex] плочки повече от тази след нея...

Това не е вярно. Да не би да говорим за различни неща? Можеш ли да нарисуваш първите 2-3 рамки?

[ammornil]

Всяка външна рамка има по [tex]4[/tex] плочки повече от тази след нея...

Това не е вярно. Да не би да говорим за различни неща? Можеш ли да нарисуваш първите 2-3 рамки?

Screenshot 2024-04-23 135136.png (16.36 KiB) Прегледано 371 пъти

[tex]\\[/tex]
Да прав сте. В същност има 8 плочки по-малко. Благодаря Ви за корекцията.

Всяка външна рамка има по [tex]8[/tex] плочки повече от тази след нея. Ако най-външната рамка има [tex]x[/tex] плочки, то втората има [tex]x-8[/tex] плочки, а третата има [tex](x-8)-8=x-16[/tex] плочки. Знаем, че [tex]x+x-16=x-8+112 \Leftrightarrow 2x-x=104+16 \Leftrightarrow x=120[/tex]. Най вътрешната рамка има [tex]120-16=104[/tex] плочки. Понеже огражда квадрат и плочките имат форма на квадрат, формата на рамката също е квадрат, което значи че четирите страни са равни, от тях [tex](104-4)\div{4}=25[/tex] плочки имат обща страна с килима, следователно килимът има страна равна на [tex]25\cdot{20}=500[cm] \Rightarrow P=4\cdot{500}=2000[cm][/tex].

[peyo]

...Да прав сте. В същност има 8 плочки по-малко. Благодаря Ви за корекцията.

Всяка външна рамка има по [tex]8[/tex] плочки повече от тази след нея. Ако най-външната рамка има [tex]x[/tex] плочки, то втората има [tex]x-8[/tex] плочки, а третата има [tex](x-8)-8=x-16[/tex] плочки. Знаем, че [tex]x+x-16=x-8+112 \Leftrightarrow 2x-x=104+16 \Leftrightarrow x=120[/tex]. Най вътрешната рамка има [tex]120-16=104[/tex] плочки. Понеже огражда квадрат и плочките имат форма на квадрат, формата на рамката също е квадрат, което значи че четирите страни са равни, от тях [tex](104-4)\div{4}=25[/tex] плочки имат обща страна с килима, следователно килимът има страна равна на [tex]25\cdot{20}=500[cm] \Rightarrow P=4\cdot{500}=2000[cm][/tex].

Aaaaa. Ок, това е решение. Разбрах защо аз не намерих решение. Защото не разглеждам случаите, когато в началото имаме само 1 квадрат от 1 цвят. Да видим с моя подход дали ще намеря отговор в този случай.

Код: Избери целия код

4444444
4333334
4322234
4321234
4322234
4333334
4444444

1 - 1
2 - 8
3 - 16
4 - 24

С малко налучкване или мислене намираме:
$n(x) = 8x$

И сега можем да съставим уравнението от условието:

$n(x)+n(x+2)=n(x+1)+112$

In [23]: n = 8*x

In [24]: solve(n + n.subs(x,x+2) - n.subs(x,x+1) - 112)
Out[24]: [13]

13-тия ред е решение, което е рамката която допира външно килима и тя има $8*13=104$ квадратчета. Махаме 4-те ъгъла стават 100.
$100*20 = 2000 $ см. обиколка, което е добре, защото съвпада с това на ammornil.