Задача за 4 клас

[Гост]

Иво намислил девет последователни естествени числа. След като изтрил едно от тях, той събрал останалите осем числа и получил 166. Кое е изтритото число?

[Гост]

Да означим средното от деветте последователни естествени числа с $n$. Тогава сумата им е $(n-4)+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=(n-4+n+4)+(n-3+n+3)+(n-2+n+2)+(n-1+n+1)+n=2n+2n+2n+2n+n=9n$

Да означим изтритото число с $x$ (нали него търсим). Ако от сумата на деветте числа извадим х, получаваме сумата на останалите - в условието е казано, че е точно 166. Значи можем да запишем уравнението $9n-x=166$ От него изразяваме $x=9n-166$

От друга страна, щом х е едно от деветте последователни числа, първото от които е $n-4$, а последното - $n+4$, то изпълнено е двойното неравенство: $n-4\leq x\leq n+4$. В него заместваме $x$ със изразеното $x=9n-166$ и получаваме $n-4\leq9n-166\leq n+4$. Като намалим всяка от сравняваните величини с $n$ получаваме: $-4\leq8n-166\leq4$. Сега по същата логика прибавяме навсякъде $166$ и получаваме $166-4\leq8n\leq166+4$, т. е. $162\leq8n\leq170$ и като разделим навсякъде на $8$: $20\frac{1}{4}\leq n\leq21\frac{1}{4}$

От последното, понеже $n$ е цяло, $n=21$ и $x=9.21-166=23$

Проверка: Числата са от 21-4=17 до 21+4=25 без числото 23 и сумата им е $17+18+19+20+21+22+24+25$ - наистина точно 166.

Отговор: Изтритото число е 23.

[ammornil]

Как това е задача за четвърти клас?
Учили са дроби, смесени числа, неравенства?

[Гост]

Благодаря Ви, но трябва да има и друг начин за решаване, като за 4 клас.

[Гост]

Сумата на деветте последавателни естествени числа трябва да е с толкова по-голяма от 166, колкото е едно от тях.

Сумата на първите 9 естествени числа е 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Ако всяко от тях увеличим с единица, сумата ще нарасне с 9 -> 2+3+4+5+6+7+8+9+10=45+9=54. Ние искаме сумата да надмине 166, т. е. да нарасне с малко повече от 166-45=141. делим 141 на 9 и получаваме 15 цяло и остатък 6. Значи най-добре е направо да увеличим всяко от събираемите със следващото след 15 цяло число - 16.

17+18+19+20+21+22+23+24+25=189. като махнем числото 23, остават осем числа със сума 166.

Добре е да проверим и със съседните числа: 16+17+18+19+20+21+22+23+24=180 и дори да премахнем най-малкото: 16, получаваме 164 - недостатъчно.
Ако пък опитаме с 18+19+20+21+22+23+24+25+26=198, дори да махнем 26, получаваме 172 - повече от нужното.

[Гост]

Благодаря Ви!