актуални проблеми на обучението по математика в начален етап

[Vikveto0]

Здравейте, някой може ли да помогне с решение на тези задачи? Изпит по актуални проблеми на обучението по математика в начален етап на образование .

[ammornil]

Screenshot 2026-06-12 230404.png (177.49 KiB) Прегледано 176 пъти

$\\[12pt]$В началото имало $30$ котета и после дошли още $2$, което значи че в края имаме $32$ котета, подредени в две редици по $16$. Значи преди да дойдат двете нови котета, по редици имаме $[1]=16, [2]=14$ котета. Понеже броя на котетата в редица $[2]$ e $\dfrac{2}{3}$ от предходния им брой, значи преди преместването на $\dfrac{1}{3}$ от котетата в колона $[1]$, в колона $[2]$ имало $\dfrac{3}{2}\cdot{14} \Rightarrow [2]=21 \quad \Rightarrow [1]=30-21=9$. Тогава в началото имало $[1]=9+9=18$ котета, а в $[2]=30-18=12$ котета.

[peyo]

2.2 по метода на notepad.exe:

В началото имаме:

Код: Избери целия код

 12345678901234567890123456
П*********                                 
С***********
Ф*************         

И започваме да ги бутаме надясно докато позициите отговорят на условието:

Код: Избери целия код

 12345678901234567890123456
П*********                                 
С****               $$$****
Ф         *************         

Отг: $3

[ammornil]

Screenshot 2026-06-14 134339.png (145.5 KiB) Прегледано 146 пъти

$\\[12pt]$Нека в края на историята Ани има $x$ ореха, тогава Биби има $2x$. Преди последната рязмяна, Ани има два пъти повече отколкото в края плюс трите които изяла (защото дала половината на Биби), значи преди последната размяна Ани има $2x+3$ ореха, a Биби има $x$ ореха. В началото на предната стъпка, Биби имала 8 ореха повече отколкото след стъпката (защото изяла 4 и дала 4), а Ани имала с 4 ореха по-малко, тоест Ани имала $2x+3-4= 2x-1$ ореха, а Биби имала $x+8$ ореха. В първата размяна Ани дала 2 ореха на Биби, значи преди тази размяна Ани имала $2x-1+2= 2x+1$ ореха, а Биби имала $x+8-2= x+6$ ореха. Двете заедно имали $25$ ореха в началото, следователно $$ (2x+1) + (x+6) = 25 $$ $\\[6pt] 2x+1+x+6= 25 \quad \Leftrightarrow \quad 3x=25-7 \quad \Leftrightarrow \quad x=6 \\[6pt]$ Следователно в началото Ани имала $2x+1= 13$ ореха, а Биби имала $x+6=12$ ореха.

[ammornil]

Screenshot 2026-06-14 192819.png (242.65 KiB) Прегледано 133 пъти

$\\[12pt]\begin{array}{|c|c|c|} \text{стъпка} & \text{Ани} & \text{Симо} & \\[6pt] & 16 & 16 & \\[6pt] A \rightarrow C \rightarrow 8 & 24 & 8 & \\[6pt] A \rightarrow C \rightarrow 4 & 28 & 4 \\[6pt] C \rightarrow A \rightarrow \dfrac{1}{2}C & 24 & 8 \\[6pt] \begin{cases} A -3 \\ C -1 \end{cases} & 27 & 9 \end{array}$ $$ \text{Ани }= 27, \quad \text{Симо }= 9 $$

[ammornil]

Screenshot 2026-06-14 195815.png (186.89 KiB) Прегледано 130 пъти

$\\[12pt]$ Тази задача няма нужда от Диофантови уравнения $\\[6pt]x\in{\mathbb{N}}, y\in{\mathbb{N}}, z\in{\mathbb{N}}, \quad x+y+z=18 \\ x=\dfrac{1}{3}\cdot{18}=6 \Rightarrow y+z= 12 \Rightarrow y=12-z \\[6pt] 6 +2y +3z= 39 \quad \Rightarrow 2y+3z= 33 \Leftrightarrow 2(12-z) +3z= 33 \Leftrightarrow 24 -2z +3z= 33 \Leftrightarrow z=9$ $$ z=9 $$

[peyo]

Screenshot 2026-06-14 195815.png

$\\[12pt]$ Тази задача няма нужда от Диофантови уравнения $\\[6pt]x\in{\mathbb{N}}, y\in{\mathbb{N}}, z\in{\mathbb{N}}, \quad x+y+z=18 \\ x=\dfrac{1}{3}\cdot{18}=6 \Rightarrow y+z= 12 \Rightarrow y=12-z \\[6pt] 6 +2y +3z= 39 \quad \Rightarrow 2y+3z= 33 \Leftrightarrow 2(12-z) +3z= 33 \Leftrightarrow 24 -2z +3z= 33 \Leftrightarrow z=9$ $$ z=9 $$

А сега да я решим с много Диофантови уравнения!

Нека означим:

[tex]x_1[/tex] — брой маси с едно чекмедже,

[tex]x_2[/tex] — брой маси с две чекмеджета,

[tex]x_3[/tex] — брой маси с три чекмеджета.

От условието имаме системата:

[tex]\begin{array}{|l}
x_1+x_2+x_3=18 \\
x_1+2x_2+3x_3=39
\end{array}[/tex]

Освен това масите с едно чекмедже са една трета от всички маси, следователно:

[tex]x_1=\frac{18}{3}=6[/tex]

Заместваме [tex]x_1=6[/tex] и получаваме:

[tex]\begin{array}{|l}
x_2+x_3=12 \\
2x_2+3x_3=33
\end{array}[/tex]

Това е линейна диофантова система, защото търсим решения в цели неотрицателни числа:

[tex]x_2,x_3\in\mathbb Z_{\ge 0}[/tex]

Да я запишем във вида:

[tex]A\mathbf{x}=\mathbf{b}[/tex]

където:

[tex]A=\begin{array}{|cc|}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{array}[/tex]

[tex]\mathbf{x}=\begin{array}{|c|}
x_2 \\
x_3
\end{array}[/tex]

[tex]\mathbf{b}=\begin{array}{|c|}
12 \\
33
\end{array}[/tex]

Имаме:

[tex]\det A=1\cdot 3-1\cdot 2=1[/tex]

Следователно матрицата [tex]A[/tex] е унимодуларна. Това означава, че тя е обратима над [tex]\mathbb Z[/tex], т.е. обратната й матрица също има цели коефициенти.

В термините на теорията на линейните диофантови уравнения това означава, че системата може да се реши чрез целочислени елементарни преобразувания, т.е. чрез елиминация над [tex]\mathbb Z[/tex]. Също така Smith normal form на матрицата [tex]A[/tex] е единичната диагонална форма, защото [tex]\det A=\pm 1[/tex].

Намираме обратната матрица:

[tex]A^{-1}=\begin{array}{|rr|}
3 & -1 \\
-2 & 1
\end{array}[/tex]

Следователно:

[tex]\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}[/tex]

тоест

[tex]\begin{array}{|c|}
x_2 \\
x_3
\end{array}
=
\begin{array}{|rr|}
3 & -1 \\
-2 & 1
\end{array}
\begin{array}{|c|}
12 \\
33
\end{array}[/tex]

Получаваме:

[tex]x_2=3\cdot 12-33=36-33=3[/tex]

и

[tex]x_3=-2\cdot 12+33=-24+33=9[/tex]

Следователно броят на масите с три чекмеджета е:

[tex]\boxed{9}[/tex]

[ammornil]

[tex]x_2,x_3\in\mathbb Z_{\ge 0}[/tex]

Не мисля, че имаме право да допуснем $0$ за брой маси от кой да е вид. Според мен ограничението е $x_{i}\in\mathbb{N}$.

В допълнение, темата е свързана с начален етап на образование, не мисля че матрици и детерминанти влиза в това определение, но може да греша.

[ammornil]

Screenshot 2026-06-14 210944.png (158.73 KiB) Прегледано 110 пъти

$\\[12pt]x\in{\mathbb{N}}, y\in{\mathbb{N}} \\[6pt] \because{} 4x +5y= 62 \Rightarrow (x+y)_{min}=? \\[12pt] x= \dfrac{62-5y}{4}= \dfrac{60-4y}{4}+\dfrac{2-y}{4}= 15 -y -\dfrac{y-2}{4} \\[6pt] \quad \sqsupset{} m= \dfrac{y-2}{4}, \quad m\in{\mathbb{Z}} \\ \Rightarrow y=4m +2 \\ \Rightarrow x= 15 -(4m+2) -\dfrac{4m+2-2}{4}= 13 -5m \\[6pt] \begin{cases} x\in{\mathbb{N}} \Rightarrow 13-5m>0 \Rightarrow m<\dfrac{13}{5} < 3 \\[4pt] y\in{\mathbb{N}} \Rightarrow 4m+2>0 \Rightarrow m>-\dfrac{1}{2} \\[4pt] m\in{\mathbb{Z}} \end{cases} \Rightarrow m=\{0, 1, 2\} \\[12pt] \begin{array}{|rr|rr|rr|r|} m & \quad & x & \quad & y & \quad & x+y \\ \hline \\[6pt] 0 && 13 && 2 && 15 \\[6pt] 1 && 8 && 6 && 14 \\[6pt] 2 && 3 && 10 && 13 \end{array} $ $$ (x+y)_{min}=13 $$

[ammornil]

Screenshot 2026-06-14 195815.png (186.89 KiB) Прегледано 92 пъти

$\\[12pt]$Ето и решение с Диофантови равенства:$\\ x\in{\mathbb{N}}, y\in{\mathbb{N}}, z\in{\mathbb{N}}, \quad x+y+z=18 \\ x=\dfrac{1}{3}\cdot{18}=6 \Rightarrow \boxed{(1) \quad y+z= 12 \quad } \\[6pt] 6 +2y +3z= 39 \quad \Rightarrow 2y+3z=33 \\[6pt] y= \dfrac{33-3z}{2}=16-z-\dfrac{z-1}{2} \\[6pt] \sqsupset{} m=\dfrac{z-1}{2} \in\mathbb{Z} \Rightarrow \quad z=2m+1 \\[6pt] y= 16- (2m+1)-\dfrac{2m+1-1}{2}=15 -3m \\[6pt] (1): \quad y+z=12 \Rightarrow 15-3m+2m+1=12 \Leftrightarrow 16-m=12 \Leftrightarrow m=4 \Rightarrow $ $$ z=2m+1= 9 $$