Предизвикателство към вас

[nick]

Една задачка от мен .

Условие:
На страните $AB$ и $AD$ на правоъгълника $ABCD$ са избрани произволни точки $E$ и $F$. В оцветените части са записани лицата им. Колко $x$?

Arventina_2006g..png (16.9 KiB) Прегледано 935 пъти

Решение:

Скрит текст: покажи

Имаме
[tex]S_{BCF} = \frac{1}{2}S_{ABCD}[/tex]
[tex]S_{ADE} + S_{BCE} = \frac{1}{2}S_{ABCD} \Rightarrow[/tex]

[tex]S_{BCF} = S_{ADE} + S_{BCE}[/tex]

Представяме лицата в полученото равенство като сбор
[tex]S_{FHI} + x + S_{BCG} = (35 + 4 + S_{FIH}) + (9 + S_{BCG})[/tex]
и намираме
[tex]x = 35 + 4 + 9 = 48[/tex].

Надявам се задачката да ви е харесала!

И честито! Вече имаме втора страница на темата!

[nick]

Една задачка от мен .

Условие:
Колко от делителите на [tex]18^{81}[/tex] са нито точни квадрати, нито точни кубове?

Решение:

Скрит текст: покажи

Числото [tex]N = 18^{81} = 2^{81}3^{162}[/tex] има [tex]82 * 163[/tex] делители.

Делителите на [tex]N[/tex], които са точни квадрати, са от вида [tex]2^{2k}3^{2p}[/tex], където [tex]k[/tex] е от [tex]0[/tex] до [tex]40[/tex] и [tex]p[/tex] е от [tex]0[/tex] до [tex]81[/tex]. Те са [tex]41 * 82[/tex] на брой.

Делителите на [tex]N[/tex], които са точни кубове, са от вида [tex]2^{3k}3^{3p}[/tex], където [tex]k[/tex] е от [tex]0[/tex] до [tex]27[/tex] и [tex]p[/tex] е от [tex]0[/tex] до [tex]54[/tex]. Те са [tex]28 * 55[/tex] на брой.

Делителите на [tex]N[/tex], които са точни квадрати и точни кубове, са от вида [tex]2^{6n}3^{6m}[/tex], където [tex]n[/tex] е от [tex]0[/tex] до [tex]13[/tex] и [tex]m[/tex] е от [tex]0[/tex] до [tex]27[/tex]. Те са [tex]14 * 28[/tex] на брой.

Делителите на [tex]N[/tex], които са точни квадрати или точни кубове, са [tex]41 * 82 + 28 * 55 - 14 * 28 = 41 * 110[/tex].

Делителите на [tex]N[/tex], които не са нито точни квадрати, нито точни кубове, са [tex]82 * 163 - 41 * 110 = 82 * 163 - 82 * 55 = 82(163 - 55) = 82 * 108 = 8856[/tex].

P.S. Запознайте се с формулата за брой на делителите, ако не я знаете.