Геометрична задача за лице на четириъгълник.

[Гост]

Нека ABCD е изпъкнал четириъгълник. ∠ АВС = 135^о, ∠ BAD = ∠ BCD = 90^о, АВ = 18 см и CD = 36 см. Намерете лицето на ABCD.

Решението трябва да е с материала за 6 клас.

[Xixibg]

Гледайте от чертежа , че ме мързи да пиша
[tex]S_{ABM}=\frac{MB.AH}{2}=\frac{AB.AM}{2} ; =>MB.AH=AB.AM ; =>2x^2=324 ; =>x^2=162[/tex]
[tex]S_{ABCD}=S_{ENCD}-S_{ANB}-S_{AED}=CD.NC-\frac{AN.NB}{2}-\frac{AE.ED}{2}=36(36-x)-\frac{(36-x)(36-x)}{2}-\frac{x.x}{2}=[/tex]
[tex]=\frac{72(36-x)-(36-x)(36-x)-x^2}{2}=\frac{(36-x)(72-36+x)-x^2}{2}=\frac{36^2-x^2-x^2}{2}=\frac{\cancel{2}(36.18-x^2)}{\cancel{2}}=648-162=486[/tex]

П.П. Не знам дали е с материал за 6-ти клас.Предварително се извинявам ако съм използвал нещо допълнително.

[Гост]

Решението е с материала до 6 клас.

Сборът на вътрешните ъгли на ABCD e 360^o, откъдето ∠ АDС = 360^o - ∠ АВС - ∠ BAD - ∠ BCD = 360^o - 135^о - 90^о - 90^о = 45^о

Нека Е е пресечната точка на продълженията на AD и ВС.

Сборът на ъглите в ΔCDE e 180^o, откъдето ∠ ЕDС = 180^o - ∠ ECD - ∠ EDC = 180^o - ∠ ВCD - ∠ АDC = 180^o - 90^о - 45^о = 45^о.

Следователно ΔCDE е равнобедрен и правоъгълен, с катети EC = CD = 36 см и лицето му е SCDE = (ЕC.CD)/2 = (36.36)/2 = 648 кв.см.

∠ АВЕ = 180^o - ∠ АВС = 180^o - 135^о = 45^о
∠ BAЕ = 180^o - ∠ BAD = 180^o - 90^о = 90^о

Сборът на ъглите в ΔAEB e 180^o, откъдето ∠ AEB = 180^o - ∠ ABE - ∠ BAE = 180^o - 45^о - 90^о = 45^о.

Следователно ΔAEB е равнобедрен и правоъгълен, с катети AE = AB = 18 см и лицето му е SAEB = (AE.AB)/2 = (18.18)/2 = 162 кв.см.

SABCD = SCDE – SAEB = 648 – 162 = 486 кв. см.

[Евва]

(Извинявам се ,че не мога да пращам чертежи .)
Нека правата DC пресича правата АВ в т.V .Построяваме квадрата BV[tex]V_{2 }[/tex]E с пресечна точка на диагоналите т.С .
Нека т.F лежи на отсечката AD,като ABEF е правоъгълник (а).
Да отбележим точките-H,Q,M -среди стответно на отс.AF,BE,CD .
Нека т.R е среда на отс.HD .Да отбележим точките [tex]E_{1 }[/tex] ,[tex]C_{1 }[/tex] и [tex]V_{1 }[/tex] такива ,че FE[tex]E_{1 }[/tex]D (v), HC[tex]C_{1 }[/tex]D и AV[tex]V_{1 }[/tex]D са квадрати.
Нека BV=2х,тогава ВЕ=2х ; AF=BE=2x (от (а)) .По построение AH=FH=BQ=EQ=x .
CM=DM=AB=18 см. , FE=FD=18 см. (от(v))
____________________________________________________________________________________________
[tex]\frac{HD.MR}{2}[/tex]=[tex]S_{HMD }[/tex] ; [tex]\frac{HM.DM}{2}[/tex]=[tex]S_{HMD }[/tex]

HD.MR=2[tex]S_{HMD }[/tex]=HM.DM [tex]\Rightarrow[/tex] HD.MR=HM.DM

Скрит текст: покажи

MR=HC:2

(18+x)(18+x):2=18.18
(324+18x+18x+x.x):2=324
324+36x+x.x=648
36x+x.x=324 (1)

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]S_{ABEF }[/tex]+[tex]S_{BCE }[/tex]+[tex]S_{FED }[/tex] = AB.AF+[tex]\frac{BE.CQ}{2}[/tex]+[tex]\frac{FE.FD}{2}[/tex]=

=18.2x+[tex]\frac{2x.x}{2}[/tex]+[tex]\frac{18.18}{2}[/tex]=36x+x.x+162= ( виж(1) )

=324+162=

=486