Логическа

[math10.com]

Върху окръжност по произволен начин са записани [tex]100[/tex] числа , всяко от които е или [tex]0[/tex] или [tex]2[/tex]. Известно е, че сумата на никои [tex]10[/tex] последователни числа не е [tex]10[/tex]. Нека [tex]S[/tex] е сумата от всичките [tex]100[/tex] числа. Колко на брой различни стойности може да приема [tex]S[/tex]?

П.П. Готина задача ,на която попаднах в интернет и поствам за да се Забавлявате.

[pal702004]

Във всяка десятка съседни числа разликата между броят на нулите и броят на двойките е четна (и ненулева по условие)
Ако в някоя десятка тя е положителна/отрицателна, то във всички десятки трябва да е положителна/отрицателна. Ако взамем първата десятка и се движим по часовниковата стрелка, едно число излиза от десятката и едно влиза. Ако това,което излиза и това, което влиза са еднакви, разликата не се променя, ако са ралични, разликата се променя с 2. Така че няма как да се премине от положителна разлика към отрицателна, без да се мине през 0. Щом като минималната разлика в някоя десятка е 2 (6-4), то минималната разлика в стотицата е 20. И може да се осъществи, без да се нарушава условието, например AAAABBBBBB в цикъл.
Ако двойките са по-малко, то броят им може да бъде от 0 до 40 (в горният пример винаги можем да заменим колкото си искаме A с B) или 41 различни стойности за S.
Ако двойките са повече, аналогично, броят им може да бъде от 60 до 100. Още толкова, значи 82 различни стойности може да приема сумата на всички числа.