Втори кръг на национална олимпида 17.04

[Kamito]

Ето задачите от областния кръг на националнта олимпиада по математика за 6 клас, които бяха във Варна.
1. Фирма „Екосок“ пълни два вида опаковки със сок от боровинки и ги продава на една и съща цена. Първият вид има форма на правоъгълен паралелепипед с размери: 1дм, 0,5дм и 1,5дм. Вторият вид има форма на триъгълна пирамида с височина 20см и основа правоъгълен триъгълник с катети 15см и 14см. От кой вид е по-изгодно да се купува?
2. Ани и Борис имат монети само по 1 стотинка и по 10 стотинки. Общо двамата имат между 100 и 200 монети, като Ани има толкова монети по 10 стотинки, колкото Борис има по 1 стотинка. Броят монети по 10 стотинки на Борис представлява 40% от броя монети по 1 стотинка на Ани. Ако Ани изхарчи 75% от парите си ще ? остане сума, равна на сумата на Борис. Колко монети по 1 стотинка има Борис?
3. Докажете, че:
а) числата 1+3?+3?i 1+3?+3^4+3^6 са взимно прости
б) сумата 1+3?+3?+...+3^42+3^44+3^46 се дели на 533
Първата е мноооого лесна и НЕ е въобще на ниво олимпиади... Втората ме затрудни, защото не знам как да я реша с материала за 6 клас.... Третата реших само а), а б) до някаде..
Може ли да ми обясните как може да се решат 2 и 3 б) с материала за 6 клас, защото 3 б) може да се реши с аритметична прогресия....

[martin123456]

3б да не би третото събираемо да е [tex]3^4[/tex]
?

[martin123456]

[tex]533=13.41[/tex]
[tex]A=1+3^2+3^4+\cdots+3^{44}+3^{46}=1+9+9^2+\cdots+9^{22}+9^{23}[/tex]
разглеждаме остатъците на степените на 9ките по модул 13
[tex]9^0 \equiv 1[/tex], [tex]9^1 \equiv 9[/tex], [tex]9^3 \equiv 3[/tex], [tex]9^4 \equiv 1[/tex], [tex]9^5 \equiv 9[/tex], [tex]9^6 \equiv 1[/tex] и тн забелязваме и доказваме по индукция че [tex]9^{3k} \equiv 1[/tex], [tex]9^{3k+1} \equiv 9[/tex], [tex]9^{3k+2} \equiv 3[/tex].
[tex]A=(1+9+9^2)+(9^3+9^4+9^5)+\cdots + (9^{21}+9^{22}+9^{23}) \equiv 13+13+\cdots+13 \equiv 0[/tex]. значи се дели на [tex]13[/tex].

по анаологичен начин постъпваме и с [tex]41[/tex]. там забелязваме [tex]9^{4k} \equiv 1[/tex], [tex]9^{4k+1} \equiv 9[/tex], [tex]9^{4k+2} \equiv -1[/tex], [tex]9^{4k+3} \equiv -9[/tex] и групираме по 4ки, във всяка четворка сумата е 0 по модул 41.

[Kamito]

Нищо не разбрах.... какво е индукция какво е „по модул 13“ ?????/ може ли малко обяснения все пак съм 6 клас..... а иначе това наистина е 3^4

[martin123456]

индукция не знам кога се учи. аз я учих в 7ми клас, но в някои училища се учи и в 4ти клас.
модул...същата работа.
модул е: числото по което взимаме остатътък, т.е. на какво делим.

[Kamito]

Ами не знам ама ние не сме учили още „индукция“. Може ми ще я вземем в 7 клас... .... А нещо по втората задача, защото в нея има неравенства, а те не се учат в 6 клас ?..

[Богдан Стойчев]

Тъй като двата вида опаковки с боровинков сок струват на една и съща цена, най-изгодно ще баде да се закопува сока който е в опаковката с форма на правоъгълен паралелепипед. Тъй като е с 50 куб. см повече сок от другата опаковка която е с форма на пирамида.

[Kamito]

Да, тя тая задача е УБИЙСТВЕНО ЛЕСНА,обаче мен ме интересува решението на 2 задача с материал за 6 клас, защото в нея има неравенства които се учат в 7 клас

[zhoro]

Добре, значи Борис има х монети от 1ст. и 40%у монети от 10 ст., а Ани има у монети от 1 ст. и х монети от 10 ст.
По условие Б=А - 75%А Б=25%А
х +40%у .10 = 25%(у + х.10)
х + 4у = 25%у + 250%х умножаваме по 100 от двете страни и става
100х + 400у = 25у + 250х делим на 25
4х + 16у = у + 10х махаме 4х и у и става
15у = 6х делим на 3
2х = 5у => х/у = 5/2 => х=5.к у=2.к =>5 дели к
по условие 5 дели у и 100<х+40%у+х+у<200
100<12,4.k<200 => к=10 или к=15 и от там получаваш 2-те решения: х=50 монети или х=75 монети

ПП: Вие взимали ли сте пропорции?

[Kamito]

Ами да учили сме пропорции. Аз знам как да реша задачата проблема е, че трябва да се реши неравенство, а то не се учи в 6, а в 7 клас... и не знаех как да напиша решението с материала за 6 клас...