Задача от "Хитър Петър"

[keith]

Петко пресметнал сумата
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16
 и
получил m/720720

Оказало се, че числото m се дели само на едно от числата 17, 19, 23, 29 и 31. На
кое от тях се дели m?

[drago]

17. Единият начин е да се пресметне, което явно не е "решението". Другия е да се използва теорема на Уилсън([tex]16! \equiv -1 \pmod{17}[/tex]) и ...някои свойсва, напр, че [tex]\mathbb{Z}_p-\{0\}[/tex] (за [tex]p=17[/tex]) e група относно умножението. Това обаче не излиза ли малко извън 5-ти клас !!
За трети начин не се сещам.

[monika_at]

Да извършим събирането по двойки, като съберем първото и последното, второто и предпоследното и т.н.
Ще получим:

[tex]\frac{17}{16}+\frac{17}{30}+...+\frac{17}{72}=17(\frac{1}{16}+...+\frac{1}{72})[/tex]
Вече е видимо, че числото се дели на 17.


Драго, понякога простичките неща са невидими.

[drago]

Да, така е. Не знам за теб, но моята класификация за простите неща не е толкова обвързана с нивото на знания, които се използват.
Иначе да, явно и за 5-ти клас става, и е добра.