Трудна задача от Черноризец Храбър 2015 5-6 клас

[gruichoto]

Здравейте, имам нужда от помощ. 17та задача ни мъчи. Необходимо ми е обяснение на задачата.

[amsara]

[tex]2.24+2.24+24= 5.24=120[/tex]

Чак довечера късно ще мога да обясня откъде идват тези сметки.

[gruichoto]

ОК, ще се радвам да обясните.

[Davids]

Аз бих подходил към задачата малко по-аналитично. Предполагам в 5-6. клас не се учи какво е факториел, но нали е олимпиада - ползвам го Вместо надълго и нашироко да обяснявам, просто ще обобщя - [tex]n[/tex] на брой елемента можем да подредим по общо [tex]n! = n.(n-1)(n-2) ... 2.1[/tex] начина.
Примерно, в нашия случай ще означим четирите различни цвята с различни променливи ([tex]а,b,c,d[/tex]) като ще можем да подредим по съответствие променливите и цветовете (т.е. коя променлива какъв цвят ще е) по [tex]4! = 4.3.2.1 = 24[/tex] начина.
След като сме означили четирите цвята с букви, ще разгледаме възможните подредби на буквите, така че в две съседни полета да няма еднаква буква. След като сме разгледали подредбите, остава да умножим броя им по броя възможни съответствия цвят-променлива (т.е. 24).
За да започнем успешно, ще си изберем три общосъседни полета, които задължително ще имат различни стойности.
Аз съм ги избрал така, но фигурата позволява много възможности:

figura1.png (4.01 KiB) Прегледано 1668 пъти

Сега ще разгледаме трите различни позиции за [tex]d[/tex] и ще начисляваме възможности предвид възможните цветове за оставащите две полета.
1. възможна:

figura2.png (3.94 KiB) Прегледано 1668 пъти

Както виждате, при тази позиция за [tex]d[/tex] имаме 3 възможни двойки различни цветове за другите две полета (означил съм ги шарено, за да си личат - нямат общо с цветовете от задачата), така че да е изпълнено условието. И така имаме вече 3 цялостни разпределения.
А за останалите две позиции на [tex]d[/tex] всъщност имаме само по една двойка цветове за другите две полета, а именно следните:

figura3.png (4.77 KiB) Прегледано 1668 пъти

И така събрахме общо 5 различни разпределения на променливите. Тоест общо разпределенията на цветовете са [tex]5.4! = 5.24 = 120[/tex] на брой.

Скрит текст: покажи

Звучи по-сложно отколкото е, но аз съм виновен... Имам още много да работя върху терминологичния си език и подредбата на обяснението, но се надявам да разбрахте идеята ми

[gruichoto]

Благодаря за решението.
Ще се опитам да обясна факториела по начин като за 5-6 клас.

[amsara]

square.png (3.8 KiB) Прегледано 1651 пъти

Предполагам все пак, че петокласник не знае какво е факториел, дори и за олимпиада.

Затова ще се опитам да обясня и без факториел как се стига до това 120.
Възможните варианти за първите 3 клетки А,В и С могат да бъдат написани както "бабешки", така и с лесно обяснение без споменаване на факториела като понятие.

*бабешки - ЧЖЗ, ЧЗЖ, ЧЖС, ЧСЖ, ЧЗС, ЧСЗ. Вижадме 6 опции за старт с червено. По още толкова има за старт със син, зелен и жълт цвят, значи общо 4.6=24 възможности за подредба.
* уж по-разбираем факториел - ще запълваме клетката А с един от 4 възможни цвята. За клетка В вече изборът ни е сведен до 3, за клетката С до 2. Тоест имаме 4.3.2=24 опции за нареждане до клетка С включително.

Парвя уговорката, че избирам на картинката да стартирам с примерна конфигурация ЧЖЗ в клетките А, В и С. При такова разположение за D имаме 2 варианта - син или червен. Тоест имам дотук 24 варианта за първите 4 клетки, все завършващи със син цвят и още толкова, окончаващи в червено. И ето откъде е първата част 2.24 (или 48) от упоменатия от мен по-рано сбор.

Оттук надолу ще разгледаме двата подварианта:
-ако Д е в син цвят, то за Е имаме избор между син и жълт цвят.
-ако Д е в червено,то за Е пак имаме избор между син и жълт цвят.

И така се оказва, че Е клетка може да е или жълта, или синя. Ако е жълта, то последната клетка може да бъде единствено червена. Ето нови 24.
Ако пък е синя клетката Е, то последната може да е червена или жълта. И ето как се сдобихме с още 2.24 (или 48).

Накарая имаме сборно 2.24+2.24+24=5.24=120

[Davids]

Дали ще го наречем факториел или ще обясним теорията - резултатът е еднакъв. Аз предпочитам да използвам наличната терминилогия, пък тя в случая е доста логична и лесно се осмисля - и лесно се обяснява (дори и „бабешки“)

[amsara]

Разбира се, че принципно с терминология е по-добре, но все пак е важно тези термини пред кого ги ползваме. В СМГ се решават задачи от комбинаторика и в курсовете за малки, но май не им се обяснява задълбочено (знам ли, може пък и да им обясняват) що е то пермутация, комбинация, вариация, а още по-малко формулите за тях. Помня едно помагало зелено, за 3-4 клас, с един таралеж на корицата - в него бяха рисувани просто кутийки за целта.

[drago]

Нека означим квадратчетата $O,A,B,C, D, E$, където $O$ е централното. Да изберем по една точка от всяко от тях, като тях означавме по същия начин. Свързваме две точки, само ако съответните квадратчета имат обща граница. Получаваме картинката по-долу. Задачата се свежда до:

По колко начина може да оцветим точките $O,A,B,C, D, E$ в $4$ цвята, така че да няма свързани едноцветни точки.

Ето така вече е по-добре. Лесно се вижда, че с три цвята такова оцветяване не става. После, $4$ цвята за $6$ точки, значи има две точки в един и същи цвят, например цвета $X$. (три не може да са с еднакъв цвят). Останалите $4$ точки са в $3$ цвята, значи има още една свойка в еднакъв(но друг) цвят- $Y$. Да видим къде може да са тези 4 точки. Естествено някои 4 измежду $A,B,C,D,E$. Имаме 5 избора за това коя точка не е между двете двойки. Нека за определеност $D$ не е между тях. Тогава нещата са както на картинката. За цвета на $X$ имаме 4 избора, за цвета на $Y$- 3 избора.
Точките $O$ и $D$ са оцветени в някои от останалите 2 цвята, Значи още 2 избора. И така общо възможностите са: $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=120$.

Коментар: Знам,че задачата е за 5-6 клас, но е интересна. Първото ми решение беше като двете по-горе. Те са по принцип еднакви, само малка разлика в оформлението. Не че имам някакви претенции (двете решения са перфектни), но исках нещо по чисто като напр, да имаш първо 5 избора, после 4, и т.н.
Не вярвам да е проблем за петокласник да научи какво е факториел. Всъчност той занае всички необходими неща. Така както, ако познава някакво момчее, но не му знае името, няма никакъв проблем да научи, че то е напр. Гошо. По-скоро би било проблем да му се обясняват как слагаме променливи за цветове, но това лесно се редактира- напр. може да се каже три произволни различни цветове, за които има 4.3.2 избора.
В реално време един състезател на този конкурс ще има средно за тази задача 4.5 минути /20 зад, за час и половина/. Ей това е проблема за петокласник. Но пък конкурса не изисква обосновка. Имаш 5 отговора. Първите 3 не стават, ако разсъждаваш грубо, заначи остават два, единият от които е "никой от посочените". Точно за тази задача на мен ми идва да маркирам "120" пред "никой от посочените" даже и да не знам кой точно от двата е правилен!

[gruichoto]

Здравейте,
тази вечер разгледахме с детето и трите варианта и колкото и да е странно, въпреки че не знае какво е n!, варианта на Davids беше възприет май най-добре, а и стигна до извода, че така най-бързо ще реши задачата, все пак гоним и време. Благодаря на всички за помощта.

ПС1: До сега си мислих, че трябва да решаваме задачите само със знанията за съответния клас, обаче това си е жива мъка, тоест трябва да си мн обигран, за да се справиш за краткото време, което имаш на състезанието. Сега мисля да сменя тактиката, ще учим принципи и техники от от цялата математика, но ще ги илюстрираме с прости примери, като за сега ще избягвам ИГМ

ПС2: Днес обяснявах за n.(n-1)/2

ПС3: В 5 клас знаят за Кръгове на Ойлер и Диофантови у-я ... всичко друго е мъгла, има проблясъци за Движение, но там винаги е трудно и на малки и на големи. Добре, че не пълнят/точат басейни още, че там ще ми побелее косата.

[drago]

като за сега ще избягвам ИГМ

Какво значи ИГМ ?

[loving_math]

Сигурно "Избрани глави от математиката" Студенти сменят "главите" с гадости.

[gruichoto]

ахам може и Гнусотии

[drago]

аха,...е, за щастие такива неща не съм учил!