2 задачи

[Калоян Т. Колев]

1 зад. Във всяка от 10 торбички има по 10 еднакви монети, но в едната те са фалшиви. Всяка от фалшивите монети е с тегло 9 грама, а всяка от истинските - с тегло 10 грама. Торбичките са номерирани с числата от 1 до 10. От всяка от торбичките вземаме толкова монети, колкото е номерът й. Теглото се оказва 547 грама. Кой е номерът на торбичката с фалшивите монети?
2 зад. Определете цифрата a, която е решението на ребуса:

9131199f.jpg (42.57 KiB) Прегледано 802 пъти

[Davids]

2. Знаем, че всяко число $\overline{ab} = 10a + b$
Записваме израза като:
$(80 + a)(30 + a - 10a - 9) = 100a + 46$
$(80+a)(21-9a) = 100a + 46$
$1680 - 720a + 21a - 9a^2 = 100a + 46$
$9a^2 + 100a + 46 + 720a - 1680 - 21a = 0$
$9a^2 + 799a - 1634= 0$
Единствен положителен корен е $x_1 = \frac{-799 + 835}{18} = 2$

Другият възможен подход е логическия:
Имам два множителя - осемдесет и нещо и едно- или дфуцифрено число, произведението на които трябва да дава трицифрено число. Е ясно е, че ако умножим двуцифрено по двуцифрено, получаваме четирицифрено число. Така че изразът в скобите трябва да дава едноцифрено цяло число. Тоест $0 < \overline{3a} - \overline{a9} < 10$ Изразът развиваме до $30 + a - 10a - 9 = 21 - 9a$
Тъй като при $a=1$ резултатът е двуцифрено число, а при $a=3$ - отрицателен, то единствена опция остава $a=2$

[inveidar]

[quote="Калоян Т. Колев"]1 зад. Във всяка от 10 торбички има по 10 еднакви монети, но в едната те са фалшиви. Всяка от фалшивите монети е с тегло 9 грама, а всяка от истинските - с тегло 10 грама. Торбичките са номерирани с числата от 1 до 10. От всяка от торбичките вземаме толкова монети, колкото е номерът й. Теглото се оказва 547 грама. Кой е номерът на торбичката с фалшивите монети?

Е, в осмата, разбира се. Взели сме общо 1+2+...+9+10=55 монети. Ако бяха всичките истински, щяха да тежат 550 грама. Те тежат с 8 грама по-малко, т.е 8 са фалшиви.