Да се определи най-малкото естествено число N, такова че изм

[tania]

1 зад.
Да се определи най-малкото естествено число N, такова че измежду всеки N числа да има две, чиято разлика се дели на 7.

2 зад.
Нека А е сборът на цифрите на 2018-цифрено число, В е сборът на цифрите на А, а С- сборът на цифрите на В. Определете най-голямата възможна стойност на С ?

3 зад.
С колко трицифрените цели положителни и отрицателни числа, записани само с нечетни цифри, са повече от трицифрените положителни и отрицателни числа, записани само с четни цифри?

[ptj]

1.) Разликата на две числа се дели на 7 тогава и само тогава, когато и двете дават един и същ остатък по модул 7 (при деление на 7).
Два еднакви остатъка по модул 7 има когато те са повече от 8 на брой (принцип на Дирихле).
Ако остатъците са 7 (или по-малко) е възможно всички те да са различни. Пример: 0;1;2;3;4;5;6 .

2.)Сборът на цифрите на А е най-много 2018.9=1862.
За числата между 1 и 999 максимума на сбора от цифрите е 27.
За числата между 1000 и 1862 максимума на цифрите е 1+8+5+9=23, сл. за числата между 1 и 1862 максимума на цифрите е 27.
За числата между 1 и 27 максимума на цифрите е 10, защото при едноцифрени е 9, от 10 до 19 е при 10 (при 19),а от 20 до 27 е 9 (при 27).
Отговор: 10

3.) Не съществува еднозначен отговор, защото [tex][\infty-\infty][/tex] е неопределеност.
По-точно могат да се направят биекции (взаимно еднозначни съответствия) между двете множества, такива че според тях разликата между броя на елементите на двете множества да е произволно естествено число или 0.

П.П. 3-та задача е малко сложна за 6-то класници. Даже предполагам, че авторовото решение е некоректно.

[Genie_Almo]

На 3-та зад, отговорът не е ли : "Точно с броя на всички положителни и отрицателни двуцифрени и едноцифрени числа, записани с четни цифри."

[ptj]

Отговора ми за 3-та задача не е верен. Не бях обърнал внимание на ограничението за 3- цифрени числа.

Правилното решение е:
3-цифрените естествени числа с нечетни цифри са 5.5.5=125. Като сложим и знак пред тях стават 250.

3-цифрените естествени числа с четни цифри са 4.5.5= 100. Прибаваме [tex]\pm[/tex] отпред и стават 200.

Разликата между двете множества е 50.

П.П. Трицифрените числа не може да започват с 0.

[ptj]

На 3-та зад, отговорът не е ли : "Точно с броя на всички положителни и отрицателни двуцифрени и едноцифрени числа, записани с четни цифри."

Според твоя отговор: 2(4.5+4)=48, изтърваш [tex]\pm *00[/tex].

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Разликата е точно 50. Имаш 2 знака, една цифра за 100-ци (0) и по 5 възможности за десетици и единици.

2.1.5.5=50

[Genie_Almo]

Така е, прав си! И наистина в моя отговор , трябва да се добави два пъти 0, за да излезе сметката!

[tania]

Отговорът на 2 задача е 11, а не 10. Благодаря ви за подробните решения, но защо е 11, а не 10?
На първа задача отговора е 8, на втора 11, на трета 50.

1.) Разликата на две числа се дели на 7 тогава и само тогава, когато и двете дават един и същ остатък по модул 7 (при деление на 7).
Два еднакви остатъка по модул 7 има когато те са повече от 8 на брой (принцип на Дирихле).
Ако остатъците са 7 (или по-малко) е възможно всички те да са различни. Пример: 0;1;2;3;4;5;6 .

2.)Сборът на цифрите на А е най-много 2018.9=1862.
За числата между 1 и 999 максимума на сбора от цифрите е 27.
За числата между 1000 и 1862 максимума на цифрите е 1+8+5+9=23, сл. за числата между 1 и 1862 максимума на цифрите е 27.
За числата между 1 и 27 максимума на цифрите е 10, защото при едноцифрени е 9, от 10 до 19 е при 10 (при 19),а от 20 до 27 е 9 (при 27).
Отговор: 10

3.) Не съществува еднозначен отговор, защото [tex][\infty-\infty][/tex] е неопределеност.
По-точно могат да се направят биекции (взаимно еднозначни съответствия) между двете множества, такива че според тях разликата между броя на елементите на двете множества да е произволно естествено число или 0.

П.П. 3-та задача е малко сложна за 6-то класници. Даже предполагам, че авторовото решение е некоректно.

[pal702004]

Отговорът на 2 задача е 11, а не 10. Благодаря ви за подробните решения, но защо е 11, а не 10?

Защото $2018\cdot 9 \ne 1862$

[ptj]

2-ра.)
Сборът на цифрите на А е най-много 2018.9=18162.
За числата между 1 и 9999 максимума на сбора от цифрите е 4.9=36.
За числата между 10000 и 18162 максимума на цифрите е 1+7+9+9+9=35, сл. за числата между 1 и 18162 максимума на цифрите е 36.
За числата между 1 и 36 максимума на цифрите е 11, защото при едноцифрени е 9, от 10 до 29 е при 11 (при 29),а от 30 до 36 е 9 (при 36).
Отговор: 11

[Гост]

Две положителни числа имат сбор 28.Намерете тези положителни числа,така че произведението им да е най-голямо.Намерете това произведение

[Jack]

Две положителни числа имат сбор 28.Намерете тези положителни числа,така че произведението им да е най-голямо.Намерете това произведение

$14 \times 14 = 196$

[Гост]

В турнир по всеки изиграва по една среща с останалите учасници.Колко са учасниците, ако са изиграни 45 срещи шах"

[ptj]

Нека участниците са [tex]n[/tex].
Всеки един от тях играе с останалите [tex](n-1)[/tex] участници.

Тогава общия брой на срещите ще е [tex]\frac{n(n-1)}{2}[/tex], защото всяка от тях ще се брои два пъти (, т.е. за двама участници).

Имаме

[tex]\frac{n(n-1)}{2}=45 \Leftrightarrow n(n-1)=90[/tex]

Решение в естествени числа е само [tex]n=10[/tex].

Не съм сигурен как точно обясняват на 5-ти клас верността на последния ред.

Може би:

че при естествено [tex]n \le 9[/tex] e вярно, че n(n-1)[tex]\le72<90[/tex],

докато при естествено [tex]n\ge11[/tex] e е вярно, че [tex]n(n-1) \ge110>90[/tex].