Хензел и Гретел СМТ 2016 5.клас

[Bagira]

Привет,
Решаваме зад. 13. От СМТ 2016г, 5. клас:

Хензел и Гретел тръгнали от дома си. За да не се изгубят в гората, те вървели заедно с еднакви крачки и оставяли покрай пътеката камъчета. Гретел оставяла на всеки 6 крачки по едно камъче, а хензел - на всеки 8 крачки, освен ако там вече не била сложила сестра му.

б) Ако двамата общо са имали 400 камъчета, на колко крачки от дома си са се намирали, когато е било поставено и последното камъче?

Моля за някакво елегантно решение, защото я решаваме и получаваме отговора, но по малко бабешки метод.

[KOPMOPAH]

Хензел няма да слага камъче на крачките, които са кратни на $24$, защото това е НОК $(6,8)$

За $24$ крачки ще са сложени $6$ камъчета - на крачки с номера $6$, $12$, $18$ и $24$ от Гретел и на крачки $8$ и $16$ - от Хензел.

За следващите $24$ крачки ще са сложени още $6$ камъчета. Имаме цикъл $24$ крачки $\rightarrow$ $6$ камъчета.

Най-голямото число, кратно на $6$ и по-малко от $400$ е $396$, т.е. тогава e последният случай, при който Хензел пропуска слагането. Тъй като $396:6=66$ това съответства на $66.24=1584$ крачки. Останалите $400-396=4$ камъчета са сложени съответно на крачки с номера $1590$ (Гретел), $1592$ (Хензел), $1596$ (Гретел) и $1600$ (Хензел).

Отг. $1600$

[Bagira]

Да, и ние горе-долу така стигнахме до отговора, е малко по-елементарно. Просто разписахме вариантите до 48-ма крачка и отделихме зависимост, но това ми се струва доста тромаво като за състезание за време. Това е, което ме притеснява.

[S.B.]

Да, и ние горе-долу така стигнахме до отговора, е малко по-елементарно. Просто разписахме вариантите до 48-ма крачка и отделихме зависимост, но това ми се струва доста тромаво като за състезание за време. Това е, което ме притеснява.

Решението на колегата KOPMOPAH е съобразано изцяло с материала,който е залегнал в обучението по математика в 5 клас.
Това,което мен ме притеснява,е че Вие решавате задачата "по бабешки" метод ,без да се поинтересувате какво знаят петокласниците.Не по-малко притеснително е,че Вашето дете не е съобразило решаването на тази (не толкова трудна задча) с това,което са учили в клас:
1. Петокласниците са учили Най Малко Общо Кратно - НОК - т.е. има възможност да се съобрази на коя крачка Хензел и Гретел ще трябва да поставят едновременно камъче -НОК(6,8) = 24 - следователно до тази $24$ - та крачка Хензел е поставил $(24:8)-1 = 2$ камъчета,а Гретел $(24:6) - 1 = 3 $ камъчета (общо $5$)и на $24$ -та крачка единият от двамата ще постави камъче - т.е. за един пълен цикъл от $24$ крачки,те ще поставят общо $6$ камъчета.
2.Петокласниците са учили деление с остатък: Ако разделят общите им $400$ камъчета на $6$ камъчета за цикъл ,ще получат броят на пълните цикли $+$ броят на оставащите камъчета: [tex]400 : 6 = 66 + \frac{4}{6}[/tex] или $66$ пълни цикъла + още $ 4$ камъчета
$66.24 = 1584$ крачки От оставащите $4$ камъчета - $2$ ще постави Гретел $2.6 = 12$ и $2 $ ще постави Хензел $2.8 = 16$ т.е Хензел ще постави последното камъче на $16$ - тата крачка.
Пресметнахме,че са извървяли $1584 + 16 = 1600$ крачки.