Олимпиада 2000 г. 5 клас

[S.B.]

По окръжност последователно са написани числата от 1 до 1000.Започваме от 1 да зачертаваме всяко следващо шесто число ( т.е. 1,7,13,...) като при повторните обиколки зачертаните числа се броят.Този процес продължава докато започнем да зачертаваме само вече зачертани числа.Намерете броя на незачертаните числа.

[Davids]

Това малко ми напомня на една известна задача: https://youtu.be/uCsD3ZGzMgE

[S.B.]

По окръжност последователно са написани числата от 1 до 1000.Започваме от 1 да зачертаваме всяко следващо шесто число ( т.е. 1,7,13,...) като при повторните обиколки зачертаните числа се броят.Този процес продължава докато започнем да зачертаваме само вече зачертани числа.Намерете броя на незачертаните числа.

Понеже никой не написа решение,ще публикувам своето:

Първо завъртане :
По условие числата които ще задраскваме са $1,7,13,19....$ или те имат вида:
$1 , 1 +1.6 ,1 + 2.6, 1 + 3.6 ,................,1 + N.6$
Последното число което ще задраскаме е $1 + N.6$ и трябва да отговаря на условията : $N.6$ да е най голямото число кратно на $6$ преди $1000 $ и към което като прибавим $1$ да не надминава $1000$
Числото $996 = 166.6 , 996 + 1 < 1000 \Rightarrow$ последното число което ще задраскам при първото завъртане е $997$
Числата които съм задраскала са [tex]1, 1 + 1.6 , 1 + 2.6 , 1 + 3.6 ,......, 1 +166.6[/tex] или общо $167$ на брой числа,първото от които е $1$,а последното $997$

Второ завъртане :
Тъй като последното,число от първо завъртане беше $997$ то първото число при второто завъртане ще бъде $997 + 6 = 1003$ ,но тъй като числата са само $1000$,то "новото" първо число ще бъде $3$, а новите числа ,които ще задраскам са:
$3 , 3 + 1.6 , 3 + 2.6 ,3 + 3.6 , ...........3 + K.6$ ,където $K.6$ отново ще бъде най голямото кратно на $6$ число ,към което като прибавим $3$ да не надминава $1000$
$K.6 = 996 = 166.6,996 + 3 = 999 < 1000$
Числата ,които съм задраскала са [tex]3 , 3 + 1.6 , 3 + 2.6 , 3 + 3.6 ,............3 + 166.6[/tex] или общо $167$ на брой числа,първото от които е $3$ , а последното $999$

Трето завъртане :
Последното число при второто завъртане беше $999 \Rightarrow$ първото число при третото завъртане ще бъде $999 + 6 = 1005$ или новото първо число което ще задраскам е $5$, а задрасканите числа ще са:
[tex]5 , 5 + 1.6 , 5 + 2.6 , 5 + 3.6 , ...........5 + P.6[/tex] ,където и сега $P.6$ ще бъде най голямото кратно на $6$ число преди $1000$ ,към което като прибавим $5$ няма да надминава $1000$
Това число е $990 = 165.6,990 + 5 = 995 < 1000$.Сега задрасканите числа са :
[tex]5 , 5 + 1.6 , 5 + 2.6 , 5 + 3.6 ,............,5 + 165.6[/tex] или общо $166$ на брой числа ,от които първото е $5$, а последното е $995$

Четвърто завъртане :
Последното задраскано число при третото завъртане е $995 \Rightarrow$ новото първо ,число ще бъде $995 + 6 = 1001$ или ще трябва да се започне от $1$.Но тогава се връщаме на първото завъртане и ние сме задраскали вече тези числа т.е.при новото завъртане ще задраскваме вече само задраскани числа,което няма смисъл.
Да преброим задрасканите числа:
Първо и второ завъртане по $167$, трето завъртане $166$ или общо $2.167 + 166 = 500$ задраскани числа.Всички числа са $1000$ следователно незадрасканите числа са $500$