Олимпиада $1998$ г. - признак за делене на 9

[KOPMOPAH]

Нека $N$ е $1998$ - цифрено число, което се дели на $9$. С $a$ е означен сборът от цифрите на числото $N$, с $b$ - сборът на цифрите на числото $a$, а с $c$ - сборът на цифрите на числото $b$.

а) Да се намери остатъкът, който се получава при делението на числото $$M = N + 5(a + b + c) + 1998$$ на $9$;
б) Да се намери числото $c$.

Олимпиада $1998$ г., $5$ клас

Скрит текст: покажи

Отговори: а) остатък $0$ ; б) $c = 9$

[KOPMOPAH]

Хайде, малки математици, толкова ли е трудна задачата?

[Davids]

Хайде, малки математици, толкова ли е трудна задачата?

Нека си представим, че съм малък.

По начало имаме, че $9 | N$, а също и $9 | 1998$, следователно $M \equiv 5(a + b + c) \bmod{9} \equiv a + b + c \bmod{9}$

Знаем, че за да се дели $N$ на 9, то сумата $a$ от цифрите на $N$ също се дели на 9. Аналогично за $b$ и $c$. Следва $a + b + c \equiv 0 \bmod{9}$.

Ако искаме, може да докажем и признака за деление на 9... но смятам, че няма нужда да го правят малките.

б) ще я оставя на ентусиастите все още

[Гост]

б) Най-голямата възможна стойност за a се получава при N=999...99 (1998 пъти)
=> a<=1998*9=17982
При това положение най-голямата стойност за b е при a=9999=>b<=36
b е число кратно на 9, за което най-големият сбор от цифрите е 9, което е вдъщност и единствената възможност => c=9
П.С. видях къде са "специалните" знаци и друг път ще ги използвам (пиша от телефон).

[Гост]

[tex]а)[/tex]
Признак за деление на [tex]9[/tex]:
Сборът от цифрите на числото се дели на [tex]9.[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

Щом [tex]9 | N[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
Значи сборът от цифрите на числото N се дели на [tex]9[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]9 | a[/tex]

Същото правим с [tex]a[/tex].
Сборът от цифрите на [tex]a[/tex] се дели на [tex]9[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]b[/tex] се дели на [tex]9.[/tex]

Така правим и с [tex]c[/tex] и виждаме, че [tex]c[/tex] се дели на 9.

[tex]M = N + 5(a + b + c) + 1998[/tex]
Щом [tex]N, a, b, c и 1998[/tex] се делят на [tex]9[/tex], значи [tex]9[/tex] дели [tex]M[/tex].

Отг. [tex]9[/tex].