Изпъкнал многоъгълник

[Добромир Глухаров]

Ето на каква задачка попаднах в БГ-МАМА:

Сумата от тъпите ъгли на изпъкнал многоъгълник е $2013^\circ$. Колко страни има този многоъгълник?

Скрит текст: покажи

Колкото и да е странно, отговорът е единствено възможно цяло число!

[S.B.]

Ето на каква задачка попаднах в БГ-МАМА:

Сумата от тъпите ъгли на изпъкнал многоъгълник е $2013^\circ$. Колко страни има този многоъгълник?

Скрит текст: покажи

Колкото и да е странно, отговорът е единствено възможно цяло число!

Аз разсъждавам така:
[tex]2013^\circ[/tex] е кратно на $3$ и $ 2013^\circ = 3.671^\circ \Rightarrow$ може да разгледаме $3$ групи ъгли на които сборът е $671^\circ$
Всеки тъп ъгъл $\in (90^\circ , 180^\circ) $
Ако приемем ,че ще работим само с градуси,тогава ъглите варират от $91^\circ$ до $179^\circ$
Може [tex]671^\circ = 6.91^\circ + 125^\circ[/tex] или $7$ ъгъла в група - общо $21$ тъпи ъгъла - $21$ страни
Но може [tex]671^\circ = 3.179^\circ + 134^\circ[/tex] което прави $4$ ъгъла в група - общо $12$ тъпи ъгъла - $12$ страни
А може и други комбинации - например:
$671^\circ = 150^\circ + 150^\circ + 110^\circ + 130^\circ + 131^\circ$ - $5$ тъпи ъгъла в група - общо $15$ тъпи ъгъла ,$15$ страни
Това е при предположението,че всяка група има еднакъв брой ъгли.
Но може и да не е така,нали?
Не знам колко е отговора,но ми се струва,че нещо липсва в условието на задачата.

[donka.ivailova]

Сборът на външните ъгли на всеки изпъкнал многоъгълник е $360^\circ$. Тъй като за всеки остър ъгъл на многоъгълника в този сбор участва ъгъл, по-голям от $90^\circ$, многоъгълникът не може да има повече от $3$ остри ъгъла. Това означава, че общата сума на ъглите му е между $2013^\circ$ и $2283^\circ$, но тя е и кратна на $180$ и пресмята се формулата: $$S=(n-2)180^\circ,$$където $n$ е броят на страните на многоъгълника. Оттук не е трудно да се забележи, че единствената възможност е $S=2160^\circ$ и $n=14$.

[S.B.]

Без заглавие (86).png (260.79 KiB) Прегледано 1735 пъти

Страните на $n - $ ъгълника са: $ A_{1 }A_{2 }, A_{2 }A_{3 },....A_{n-1 }A_{n } - n$ на брой,
тъпите му ъгли са:$ \alpha_{1 },\alpha_{2 },\alpha_{3 } ......\alpha_{n }$,
а съседните им (външните ъгли) са съответно $\beta_{1 },\beta_{2 },\beta_{3 }....\beta_{n }$
$\alpha_{1 } + \beta_{1 } = 180^\circ ,\alpha_{2 } + \beta_{2 } = 180^\circ,.........\alpha_{n } + \beta_{n } = 180^\circ$
$\sum_{i=1}^{n }(\alpha_{i } + \beta_{i }) = n.180^\circ \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n }\alpha_{i } + \sum_{i=1}^{n }\beta_{i } = n.180^\circ$
$\sum_{i=1}^{n }\alpha_{i } = 2013^\circ$ (по условие) , $\sum_{i=1}^{n }\beta_{i } = 360^\circ$ ( по правило)
$\Rightarrow 2013^\circ + 360^\circ= n.180^\circ \Leftrightarrow 2373^\circ = n.180^\circ \Rightarrow 2373^\circ= 13.180^\circ + \frac{33}{180}^\circ$
Т.е. получава се,че сборът на всичките ъгли на $n - $ ъгълникът е числото $2373$,което не е кратно на $180^\circ $
[tex]2373^\circ > 2340^\circ= 13.180^\circ[/tex]
Следващото по големина число кратно на $180^\circ $след $2340^\circ$ е $2520^\circ = 14.180^\circ$
$\Rightarrow $ сборът от всички ъгли е $2520^\circ = 14.180^\circ$
Окончателно броят на страните $n = 14$

[S.B.]

Ето на каква задачка попаднах в БГ-МАМА:

Сумата от тъпите ъгли на изпъкнал многоъгълник е $2013^\circ$. Колко страни има този многоъгълник?

Скрит текст: покажи

Колкото и да е странно, отговорът е единствено възможно цяло число!

Аз разсъждавам така:
[tex]2013^\circ[/tex] е кратно на $3$ и $ 2013^\circ = 3.671^\circ \Rightarrow$ може да разгледаме $3$ групи ъгли на които сборът е $671^\circ$
Всеки тъп ъгъл $\in (90^\circ , 180^\circ) $
Ако приемем ,че ще работим само с градуси,тогава ъглите варират от $91^\circ$ до $179^\circ$
Може [tex]671^\circ = 6.91^\circ + 125^\circ[/tex] или $7$ ъгъла в група - общо $21$ тъпи ъгъла - $21$ страни
Но може [tex]671^\circ = 3.179^\circ + 134^\circ[/tex] което прави $4$ ъгъла в група - общо $12$ тъпи ъгъла - $12$ страни
А може и други комбинации - например:
$671^\circ = 150^\circ + 150^\circ + 110^\circ + 130^\circ + 131^\circ$ - $5$ тъпи ъгъла в група - общо $15$ тъпи ъгъла ,$15$ страни
Това е при предположението,че всяка група има еднакъв брой ъгли.
Но може и да не е така,нали?
Не знам колко е отговора,но ми се струва,че нещо липсва в условието на задачата.

Отказвам се от това мое мнение.
Явно съм се подвела по факта,че в 6 клас не се изучава изпъкнал $n -$ ъгълник.
До колкото ми е известно се изучават триъгълници и четириъгълници,но след толкова промени в програмите може да са въвели и изпъкнали $n - $ъгълници,заедно със съседни ъгли и цитираната в решението на колежката формула за сбора от всички ъгли.
Представила съм по-горе решение на задачата придружено с чертеж.

[Добромир Глухаров]

Може би трябваше да пусна задачата в "Състезания за 7, 8 клас" - просто никак не съм наясно с училищната програма. Моля за извинение за объркването.

[donka.ivailova]

Може би трябваше да пусна задачата в "Състезания за 7, 8 клас" - просто никак не съм наясно с училищната програма. Моля за извинение за объркването.

Аз смятам, че задачата е на правилното място. Многоъгълниците се учат в $6$ клас по новата програма наред с други основни геометрични фигури и тела. Имам чувството, че много подобна задача беше давана на областен кръг на Националната олимпиада.

Не се бях замисляла как може да се докаже, че сборът на ъглите на всеки изпъкнал многоъгълник с $n$ върха, е именно $(n-2)\cdot 180^\circ$. Аз бих го доказала по индукция. Нека $P(n)$ бъде "всички изпъкнали многоъгълници с $n$ върха имат сбор на ъглите $(n-2)\cdot 180^\circ$". Ще докажем, че $P(n)$ е изпълнено за всяко за всяко $n \in \mathbb{N}$ и $n \ge 3$. Като за база, нека докажем $P(3)$: "сумата от ъглите на всеки изпъкнал многоъгълник с $3$ върха е $180^\circ$". Всеки такъв многоъгълник е триъгълник, т.е. сумата от ъглите му наистина е $180^\circ$. Оттук нека приемем, че за някое $n \ge 3$ е изпълнено $P(n)$ и всички изпъкнали многоъгълници с $n$ върха имат сбор на ъглите, равен на $(n-2)\cdot180^\circ$. Остава да докажем $P(n+1)$: сборът на ъглите на всеки изпъкнал многоъгълник с $n+1$ върха е $(n-1)\cdot 180^\circ$. Нека $M$ е произволен изпъкнал многоъгълник с $n+1$ върха. Избираме три последователни върха и прекарваме права, която минава през първия и третия. Свеждаме, че сборът на ъглите на $M$ е равен на сборът от сумата на ъглите на получения триъгълник $(180^\circ)$ и на получения изпъкнал многоъгълник $((n-2)\cdot 180^\circ)$. Изводът е ясен.

[ptj]

Не ти трябва никаква индукция. Просто свържи един връх с всички останали и преброй получените триъгълници.

[donka.ivailova]

Не ти трябва никаква индукция. Просто свържи един връх с всички останали и преброй получените триъгълници.

Не смятам, че коментарът ти е обоснован. При многоъгълник с например $7$ върха кои върхове по-точно свързваш и кои триъгълници броим?

[ptj]

Чети булка, написано е на обикновен български език.

Един връх с всички остали.

Нека означението на последователните върхове при движение по часовникова стрелка по контура на многоъгълника е [tex]А_1,А_2,..,А_n[/tex].
Свързваме връх [tex]А_1[/tex] с всички останали. Триъгълниците от вида [tex]\triangleА_1А_iA_{i+1}[/tex], съставени само от върхове на многоъгълника са точно (n-2). Никои два от тях нямат обща област, а тяхното обединение дава целия многоъгълник,
затова сумата от ъглите на многоъгълника е [tex](n-2).180^\circ[/tex].