Задача от олимпиада, 5 клас - 2015 год.

[moni2003petrova]

Пенчо харесвал числата, които се записват само с цифрите 0, 1, 2 и 5, защото с тяхна помощ се означават стойностите на всички действащи банкноти и монети. Пенчо започнал да записва всички такива числа, като ги подреждал по големина. Ето как изглеждало началото на неговия запис: 0, 1, 2 , 5, 10, 11, 12, 15, 20, 21, 22, 25, 50, 51,52, 55, 100, . . . Да се намери под кой номер е записано числото 2015 и кое число е записано на 2015-о място.

[ptj]

Задачата реално е за бройна система с основа 4, с цифри в нея 0,1,2,5 (подредени по големина).

Числото 2015 е записано на [tex]2.4^3+0.4^2+1.4^1+3.4^0=135[/tex]- то място.


[tex]2015=2048-33=2^{11}-2^5-1=2.4^5-2.4^2-1.4^0=[/tex]
[tex]=4^5+(4^5-1)-2.4^2=4^5+(3.4^4+3.4^3+3.4^2+3.4^1+3.4^0)-2.4^2=1.4^5+3.4^4+3.4^3+1.4^2+3.4^1+3.4^0[/tex]

Сл. числото записано на 2015 място е 155155.

П.П. Големия проблем е как всичко да се преведе на разбираем език за 6-то класници.