Задача от общинския кръг на олимпиадата по математика 2013 г

[ivi_petrova]

В правоъгълника ABCD, точките F, G, N и H са среди съответно на
отсечките BC, CD, AF и FG.
а) Намерете каква част от лицето на правоъгълника ABCD е лицето на
триъгълника NHG.
б) Намерете колко процента е лицето на триъгълника NHG от лицето на
четириъгълника NFCG.
Отговорите са: а) [tex]\frac{3}{32}[/tex]
б) 30%
Моля за решение!

[S.B.]

В правоъгълника ABCD, точките F, G, N и H са среди съответно на
отсечките BC, CD, AF и FG.
а) Намерете каква част от лицето на правоъгълника ABCD е лицето на
триъгълника NHG.
б) Намерете колко процента е лицето на триъгълника NHG от лицето на
четириъгълника NFCG.
Отговорите са: а) [tex]\frac{3}{32}[/tex]
б) 30%
Моля за решение!

Без заглавие - 2021-01-01T155704.616.png (244 KiB) Прегледано 1061 пъти

а)
Нека [tex]AB = a ,BC = b \Rightarrow S_{ABCD } = ab[/tex]
$S_{\triangle ANG} = \frac{AN.GP}{2} , S_{\triangle NFG} = \frac{NF.GP}{2} , AN = NF \Rightarrow S_{\triangle ANG} = S_{\triangle NFG} = \frac{1}{2}S_{\triangle AFG}$
$S_{\triangle GNH} = \frac{GH.NQ}{2} , S_{\triangle NFH} = \frac{HF.NQ}{2} , GH = HF \Rightarrow S_{\triangle GNH} = S_{\triangle NFH} = \frac{1}{2}S_{\triangle FNG}$
Тогава
$S_{\triangle GNH} = \frac{1}{4}S_{\triangle AFG}$

$S_{\triangle AFG} = S_{ABCD } - (S_{\triangle ABF} + S_{\triangle FCG} + S_{\triangle AGD})\frac{a}{b} \Leftrightarrow S_{\triangle AFG} = ab - (\frac{1}{4}ab + \frac{1}{8}ab + \frac{1}{4}ab) = \frac{3}{8}ab$
$S_{\triangle GNH } = \frac{1}{4}S_{\triangle AFG} \Leftrightarrow S_{\triangle GNH} = \frac{1}{4}.\frac{3}{8}ab \Rightarrow S_{\triangle GNH} = \frac{3}{32}ab$

Тъй като $S_{ABCD } = ab \Rightarrow$ $$ S_{\triangle GNH } = \frac{3}{32} от S_{ABCD }$$
б)
$S_{NFCG } = S_{\triangle CNF} + S_{\triangle FCG} \Leftrightarrow S_{NFCG } = \frac{6}{32}ab + \frac{1}{8}ab \Rightarrow S_{NFCG } = \frac{10}{32}ab$
$ \frac{3}{32}ab = \frac{x}{100}.\frac{10}{32}ab \Rightarrow x = 30$%

[ivi_petrova]

Благодаря много!

[Евва]

а) Ето и моята идея .
Да построим точките К,[tex]F_{1 }[/tex]-среди съответно на отсечките АВ=a и AD=b .
Нека т.Р ,т.Т ,т.Е ,т.[tex]Е_{1 }[/tex] и т.[tex]Е_{2 }[/tex] са среди съответно на отсечките KG ,PG ,KB ,HE и CG .

Скрит текст: покажи

От чертежа ще видим,че правоъгълникът ABCD е разделен на 16 еднакви правоъгълника с размери [tex]\frac{a}{4}[/tex] и [tex]\frac{b}{4}[/tex].

[tex]S_{NHG }[/tex]=[tex]S_{NHT }[/tex]+[tex]S_{THG }[/tex]=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]S_{NE_{1 }HT }[/tex]+[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]S_{THE_{2 }G }[/tex]=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex]N[tex]E_{1 }[/tex].NT+[tex]\frac{1}{2}[/tex]TH.TG=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{a}{4}[/tex].[tex]\frac{b}{2}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{a}{4}[/tex].[tex]\frac{b}{4}[/tex]=

=[tex]\frac{ab}{16}[/tex]+[tex]\frac{ab}{32}[/tex]=[tex]\frac{3ab}{32}[/tex]

[tex]S_{NHG }[/tex]=[tex]\frac{3}{32}[/tex]ab=[tex]\frac{3}{32}[/tex][tex]S_{ABCD }[/tex]