Предизвикателство към вас

[Гост]

Здравейте! Намерих интересни задачи и реших да ги споделя с вас.

зад.[tex]1[/tex]
Всички двуцифрени числа от [tex]10[/tex] до [tex]99[/tex] са записани в някакъв ред [tex]\overline{a_{1}b_{1}}, \overline{a_{2}b_{2}}, ..., \overline{a_{90}b_{90}}[/tex]. Оказало се, че [tex]\overline{a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}} = \overline{a_{3}b_{3}} + \overline{a_{4}b_{4}} + ... + \overline{a_{90}b_{90}}.[/tex] Да се намери числото [tex]\overline{a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}}.[/tex]

зад.[tex]2[/tex]
Кой е най-големият двуцифрен делител на числото, равно на [tex]3^{2016} + 3^{2017} + 3^{2019}?[/tex]

зад.[tex]3[/tex]
Кое е трицифреното число, имащо май-много различни делители (включително 1 и самото число)?

зад.[tex]4[/tex]
Да се реши ребуса
КОЛЕВ + КОЛЕВ + КОЛЕВ = ПЛЕВЕН

На различните букви отговарят различни цифри, а на еднаквите букви отговарят еднакви цифри.

зад.[tex]5[/tex]
Докажете, че:

[tex](10^{2007} + 5)(2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ... + 2^{2008})[/tex] се дели на 9.

Аз имам мои решения на всяка от тях.
Нека по-големите да не помагат. Да изчакат няколко дни и тогава могат да пуснат решенията си по всяка задача. Искам просто [tex]5-6[/tex] клас да се помъчат.

Разбира се ако все пак някой го затрудняват тези задачи, аз и другите потребители от форума ще помогнем.

Надявам се задачките да Ви харесат. Ако намеря още такива интересни задачи ще ги пусна в темата.

(Лично аз не съм малък (на около [tex]30[/tex] години съм), затова ще изчакам всеки желаещ да пусне решението си и накрая ще пусна отговорите)

[Гост]

Здравейте! Намерих интересни задачи и реших да ги споделя с вас.

зад.[tex]1[/tex]
Всички двуцифрени числа от [tex]10[/tex] до [tex]99[/tex] са записани в някакъв ред [tex]\overline{a_{1}b_{1}}, \overline{a_{2}b_{2}}, ..., \overline{a_{90}b_{90}}[/tex]. Оказало се, че [tex]\overline{a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}} = \overline{a_{3}b_{3}} + \overline{a_{4}b_{4}} + ... + \overline{a_{90}b_{90}}.[/tex] Да се намери числото [tex]\overline{a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}}.[/tex]

зад.[tex]2[/tex]
Кой е най-големият двуцифрен делител на числото, равно на [tex]3^{2016} + 3^{2017} + 3^{2019}?[/tex]

зад.[tex]3[/tex]
Кое е трицифреното число, имащо май-много различни делители (включително 1 и самото число)?

зад.[tex]4[/tex]
Да се реши ребуса
КОЛЕВ + КОЛЕВ + КОЛЕВ = ПЛЕВЕН

На различните букви отговарят различни цифри, а на еднаквите букви отговарят еднакви цифри.

зад.[tex]5[/tex]
Докажете, че:

[tex](10^{2007} + 5)(2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ... + 2^{2008})[/tex] се дели на 9.

Аз имам мои решения на всяка от тях.
Нека по-големите да не помагат. Да изчакат няколко дни и тогава могат да пуснат решенията си по всяка задача. Искам просто [tex]5-6[/tex] клас да се помъчат.

Разбира се ако все пак някой го затрудняват тези задачи, аз и другите потребители от форума ще помогнем.

Надявам се задачките да Ви харесат. Ако намеря още такива интересни задачи ще ги пусна в темата.

(Лично аз не съм малък (на около [tex]30[/tex] години съм), затова ще изчакам всеки желаещ да пусне решението си и накрая ще пусна отговорите)

Здравейте на всички!
Гледам, че никой от по-малките няма отговори (със сигурност вече големите са решили всичките задача за няколко минути). Затова ще напиша своите решения и може да ги обсъдим. Може да предложите и своите.

зад.[tex]1[/tex]

Уловие:
Всички двуцифрени числа от [tex]10[/tex] до [tex]99[/tex] са записани в някакъв ред [tex]\overline{a_{1}b_{1}}, \overline{a_{2}b_{2}}, ..., \overline{a_{90}b_{90}}[/tex]. Оказало се, че [tex]\overline{a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}} = \overline{a_{3}b_{3}} + \overline{a_{4}b_{4}} + ... + \overline{a_{90}b_{90}}.[/tex] Да се намери числото [tex]\overline{a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}}.[/tex]

Решение:

Сборът на всички числа от [tex]10[/tex] до [tex]99[/tex] е:

[tex]\frac{99 * 100}{2} - \frac{9 * 10}{2} = 99 * 50 - 9 * 5 = 4950 - 45 = 4905[/tex]

[tex]1000а_{1} + 100b_{1} + 10a_{2} + b_{2} = 4905 - 10a_{1} - b_{1} - 10a_{2} - b_{2}[/tex]
[tex]1010a_{1} + 101b_{1} + 20a_{2} + 2b_{2} = 4905[/tex]
[tex]a_{1} \le 4[/tex]

[tex]101b_{1} + 20a_{2} + 2b_{2}[/tex] е най-много [tex]101 * 9 + 20 * 9 + 2 * 9 = 909 + 180 + 18 = 1107[/tex]

Тоест [tex]1010a_{1}[/tex] е най-малко [tex]4905 - 1107 = 3798[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]a_{1}[/tex] е най-малко [tex]4[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]a_{1} = 4[/tex]

[tex]101b_{1} + 20a_{2} + 2b_{2} = 4905 - 4 * 1010 = 4905 - 4040 = 865[/tex]

[tex]20a_{2} + 2b_{2}[/tex] е най-много [tex]20 * 9 + 2 * 9 = 180 + 18 = 198[/tex]

Тоест [tex]101b_{1}[/tex] е най-малко [tex]865 - 198 = 667[/tex]

[tex]b_{1}[/tex] е най-малко [tex]7[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]b_{1}[/tex] е [tex]7[/tex] или [tex]8[/tex]

Ако [tex]b_{1} = 7[/tex]
[tex]20a_{2} + 2b_{2} = 865 - 7 * 101 = 865 - 707 = 158[/tex]
[tex]10a_{2} + b_{2} = 79[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]a_{2} = 7[/tex]; [tex]b_{2} = 9[/tex]

Ако [tex]b_{1} = 8[/tex]
[tex]20a_{2} + 2b_{2} = 865 - 8 * 101 = 865 - 808 = 57[/tex]

Не може сборът на две четни числа да е нечетно [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]a_{1} = 4[/tex]
[tex]b_{1} = 7[/tex]
[tex]a_{2} = 7[/tex]
[tex]b_{2} = 9[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

Отг. [tex]\overline{a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}} = 4779[/tex]

зад.[tex]2[/tex]

Условие:
Кой е най-големият двуцифрен делител на числото, равно на [tex]3^{2016} + 3^{2017} + 3^{2019}?[/tex]

Решение:

[tex]3^{2016} + 3^{2017} + 3^{2019} = 3^{2016} * 1 + 3^{2016} * 3 + 3^{2016} * 3 * 3 * 3 = 3^{2016} * (1 + 3 + 3 * 3 * 3) = 3^{2016} * (1 + 3 + 27) = 3^{2016} * 31[/tex]

Най-големия двуцифренен делител направен от тройки е: [tex]3 * 3 * 3 * 3 = 3^{4} = 81[/tex], но най-големия двуцифрен делител е [tex]31 * 3 = 93[/tex].

Отг. [tex]93[/tex]

зад.[tex]3[/tex]

Условие:
Кое е трицифреното число, имащо май-много различни делители (включително 1 и самото число)?

Решение:

Формула за намиране на броя на делителите на едно число:
[tex]m = a^{x} + b^{y} + c^{z} + ...[/tex]
Броят на делителите на m:
[tex](x + 1)(y + 1)(z + 1)...[/tex]

Примери:

Ако търсим броя на делители на [tex]2021[/tex]. Знаем че [tex]2021 = 43 * 47[/tex].

Имаме [tex]2021 = 43^{1} + 47^{1}[/tex]
Значи [tex]2021[/tex] има [tex](1 + 1)(1 + 1) = 2 * 2 = 4[/tex] делителя.

Нека се опитаме търсеното трицифрено число да представим като произведение на различни прости числа. (Тоест да нямаме число, което се повтаря няколко пъти в произведението)

Тогава в този случай търсеното трицифрено число ще е [tex]2 * 3 * 5 * 7 = 210[/tex]. Броят на делителите на това число е: [tex]2 * 2 * 2 * 2 = 16[/tex].
Трябва да има по-голям брой делители.

Ако добавим две двойки числото ще е [tex]2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 210 * 4 = 840[/tex]. Броят на делителите на това число е: [tex]4 * 2 * 2 * 2 = 32[/tex].
Ако добавим една тройка числото ще е [tex]2 * 3 * 3 * 5 * 7 = 210 * 3 = 630[/tex]. Броят на делителите на това число е: [tex]2 * 3 * 2 * 2 = 24[/tex].

Значи трицифреното число, което има най-много различни делители е [tex]840[/tex].

(Не знам дали успях да обясня много добре последната част. Моля да ме извините, ако не съм обяснил много добре или съм пропуснал нещо.)

зад.[tex]4[/tex]

Условие:
Да се реши ребуса
КОЛЕВ + КОЛЕВ + КОЛЕВ = ПЛЕВЕН

На различните букви отговарят различни цифри, а на еднаквите букви отговарят еднакви цифри.

Решение:

Съжалявам, но няма как да напиша цялото решение, защото пиша този пост от 7:00 и решението на хартия ми е около три листа и ще стане много дълго ако го напиша. Затова ще напиша само отговора и оставам на вас да напишете решението.

Отг. [tex]86597 + 86597 + 86597 = 259791[/tex]

зад.[tex]5[/tex]

Условие:
Докажете, че:

[tex](10^{2007} + 5)(2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ... + 2^{2008})[/tex] се дели на 9.

[tex]10^{2017} + 5[/tex] се дели на [tex]9[/tex].

За вторите скоби ще приложа първокласнически метод:

[tex]2^{1}[/tex] дава остатък [tex]2[/tex] при деление на [tex]3[/tex].
[tex]2^{2}[/tex] дава остатък [tex]1[/tex] при деление на [tex]3[/tex].

Имаме [tex]2^{k}[/tex].

Ако [tex]k[/tex] е четно [tex]2^{k}[/tex] дава остатък [tex]1[/tex] при деление на [tex]3[/tex].
В противен случай [tex]2^{k}[/tex] дава остатък [tex]2[/tex] при деление на [tex]3[/tex].

Така имаме [tex]1009 * (2 + 1)[/tex] във вторите скоби, което се дели на [tex]3[/tex]. (събирам остатъците)

Имаме [tex]3a * 3b = 9ab[/tex], значи доказахме че израза се дели на [tex]9[/tex].
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Много съжалявам за дългия пост .

[pal702004]

Като цяло съм съгласен с решенията на гост. Друг е въпроста доколко някои от тях са подходящи за петокласници. Сега, по първа задача - нека $c_i=\overline{a_ib_i}$ е $i$-тото двуцифрено число в някаква пермутация. По условие имаме $100c_1+c_2=\sum_{i=3}^{90} c_i$. Естествено, добавяме $c_1+c_2$ към двете части и получаваме

$101c_1+2c_2=4905$ където $c_1,c_2$ са различни двуцифрени числа. Линейно диофантово уравнение, всяко нечетно $c_1$ ще даде решение (на уравнението, не на задачата), особеното тук е, че и двете числа трябва да са двуцифрени. Бих предложил малко по-нестандартен подход

$101c_1=4905-2c_2$
Добре е да се знае какво става, като умножим едноцифрено число на 11, двуцифрено на 101, трицифрено на 1001 и т.н - ами числото се "залепя" за себе си, т.е $101 \cdot \overline{ab}=\overline{abab}$
Значи, вдясно трябва да получим такова, очевидно нечетно число. Най-голямото такова число, по-малко от 4905 е 4747, което дава единственото решение $c_1=47,c_2=79$
Във всички други случаи $c_2>99$ и не отговаря на условието.

Това може да се направи и като се използва оригиналната нотация:

$\overline{a_1b_100}+\overline{a_2b_2}=\overline{a_3b_3}+\overline{a_4b_4}+\cdots+\overline{a_{90}b_{90}}$

Добавяме към двете части $\overline{a_1b_1}+\overline{a_2b_2}$ и получаваме

$\overline{a_1b_1а_1b_1}+2\overline{a_2b_2}=45\cdot 109$

стигнахме до горното решение без много обяснения.

За трета задача - не знам как биха се справили децата без да знаят за функцията на делителите, нейната мултипликативеност и формула за изчисляването и. Може пък да се изучават в някои школи.
Буквени ребуси по принцип не решавам - като правило са скучна хамалогия. Виждам едно испанско "ОЛЕ", което присъства сериозно и може и да може да облекчи, ама може и да не може.

За пета задача бих предложил да не се използва модулна аритметика
$10^{2007}+5=100\cdots 05$ със сбор от цифите 6, което ознчава, че се дели на 3 и не се дели на 9.
За втория множител могат събираемите да се групират по двойки и на да се покаже, че $2^k+2^{k+1}$ се дели на 3 (или $a+2a$ - също е подходящо)

[Гост]

Като цяло съм съгласен с решенията на гост. Друг е въпроста доколко някои от тях са подходящи за петокласници. Сега, по първа задача - нека $c_i=\overline{a_ib_i}$ е $i$-тото двуцифрено число в някаква пермутация. По условие имаме $100c_1+c_2=\sum_{i=3}^{90} c_i$. Естествено, добавяме $c_1+c_2$ към двете части и получаваме

$101c_1+2c_2=4905$ където $c_1,c_2$ са различни двуцифрени числа. Линейно диофантово уравнение, всяко нечетно $c_1$ ще даде решение (на уравнението, не на задачата), особеното тук е, че и двете числа трябва да са двуцифрени. Бих предложил малко по-нестандартен подход

$101c_1=4905-2c_2$
Добре е да се знае какво става, като умножим едноцифрено число на 11, двуцифрено на 101, трицифрено на 1001 и т.н - ами числото се "залепя" за себе си, т.е $101 \cdot \overline{ab}=\overline{abab}$
Значи, вдясно трябва да получим такова, очевидно нечетно число. Най-голямото такова число, по-малко от 4905 е 4747, което дава единственото решение $c_1=47,c_2=79$
Във всички други случаи $c_2>99$ и не отговаря на условието.

Това може да се направи и като се използва оригиналната нотация:

$\overline{a_1b_100}+\overline{a_2b_2}=\overline{a_3b_3}+\overline{a_4b_4}+\cdots+\overline{a_{90}b_{90}}$

Добавяме към двете части $\overline{a_1b_1}+\overline{a_2b_2}$ и получаваме

$\overline{a_1b_1а_1b_1}+2\overline{a_2b_2}=45\cdot 109$

стигнахме до горното решение без много обяснения.

За трета задача - не знам как биха се справили децата без да знаят за функцията на делителите, нейната мултипликативеност и формула за изчисляването и. Може пък да се изучават в някои школи.
Буквени ребуси по принцип не решавам - като правило са скучна хамалогия. Виждам едно испанско "ОЛЕ", което присъства сериозно и може и да може да облекчи, ама може и да не може.

За пета задача бих предложил да не се използва модулна аритметика
$10^{2007}+5=100\cdots 05$ със сбор от цифите 6, което ознчава, че се дели на 3 и не се дели на 9.
За втория множител могат събираемите да се групират по двойки и на да се покаже, че $2^k+2^{k+1}$ се дели на 3 (или $a+2a$ - също е подходящо)

Здравей pal702004!

Решенията ми харесаха. Особено на първа, защото си написал решението много по-кратко от мен.

Иначе за формулата за делителите. Детето ми учи в СМГ. Там са изучавали тази формула. Не знам за другите по обикновени училища.

Всички задачи са взети от състезания по математика. Тоест не съм си ги измислил аз. Съгласен съм, че някои задачи са малко над нормата за изучаване в [tex]5-6[/tex] клас.

[Гост]

След малко ще напиша още няколко интересни задачи.

[Гост]

Здравейте пак съм аз!

Ето няколко интересни задачи:

зад.[tex]1[/tex]
Колко пъти се среща цифрата [tex]7[/tex] в естествените числа по-малки от [tex]1000[/tex]?

зад.[tex]2[/tex]
[tex]n * n = \overline{aabb}[/tex]
[tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са различни цифри. Колко е [tex]a + b + n[/tex]?

зад.[tex]3[/tex]
Намерете броя на трицифрените числа, които имат точно три делителя.

зад.[tex]4[/tex]
Написани са първите [tex]2018[/tex] числа, получени по формулата [tex]n(n + 1)(n + 2) + 1[/tex], където [tex]n \ge 1[/tex] е естествено число. Колко от написаните числа завършват с цифрата [tex]1[/tex]?


Аз имам мои решения на всяка от тях.
Нека по-големите да не помагат. Да изчакат няколко дни и тогава могат да пуснат решенията си по всяка задача. Искам просто пети и шести клас да се помъчат.

[Гост]

Здравейте пак съм аз!

Ето няколко интересни задачи:

зад.[tex]1[/tex]
Колко пъти се среща цифрата [tex]7[/tex] в естествените числа по-малки от [tex]1000[/tex]?

зад.[tex]2[/tex]
[tex]n * n = \overline{aabb}[/tex]
[tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са различни цифри. Колко е [tex]a + b + n[/tex]?

зад.[tex]3[/tex]
Намерете броя на трицифрените числа, които имат точно три делителя.

зад.[tex]4[/tex]
Написани са първите [tex]2018[/tex] числа, получени по формулата [tex]n(n + 1)(n + 2) + 1[/tex], където [tex]n \ge 1[/tex] е естествено число. Колко от написаните числа завършват с цифрата [tex]1[/tex]?


Аз имам мои решения на всяка от тях.
Нека по-големите да не помагат. Да изчакат няколко дни и тогава могат да пуснат решенията си по всяка задача. Искам просто пети и шести клас да се помъчат.

Здравейте! Дадох достатъчно време за решение на задачите от по-малките, но явно никой няма идея от тях. Така че ще дам сега моите решения. Приемам критики по тях. Може да предложите вашите решения и да ги обсъждаме.

зад.[tex]1[/tex]

Условие:
Колко пъти се среща цифрата [tex]7[/tex] в естествените числа по-малки от [tex]1000[/tex]?

Решение:

Тази задача бих казал, че не е много интересна за учениците, но все пак трябва да има всякакво разнообразие от задачи.

Ето една таблица с данни за броя на цифрите [tex]7[/tex]:

digit7.png (19.88 KiB) Прегледано 2206 пъти

Ето словесно описание:
Числата от [tex]1[/tex] до [tex]9[/tex] съдържат [tex]1[/tex] цифра [tex]7[/tex].
Числата от [tex]10[/tex] до [tex]99[/tex] съдържат [tex]9 * 1 + 79 - 70 + 1 = 9 + 9 + 1 = 18 + 1 = 19[/tex] цифри [tex]7[/tex].
Числата от [tex]100[/tex] до [tex]999[/tex] съдържат [tex](19 + 1) * 9 + 799 - 700 + 1 = 20 * 9 + 99 + 1 = 180 + 100 = 280[/tex] цифри [tex]7[/tex]. [tex]\Rightarrow[/tex]

Има [tex]1 + 19 + 280 = 20 + 280 = 300[/tex] цифри [tex]7[/tex].

зад.[tex]2[/tex]

Условие:
[tex]n * n = \overline{aabb}[/tex]
[tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са различни цифри. Колко е [tex]a + b + n[/tex]?

Решение:

Мисля, че тази задача е една от най-интересните от миналия пост (поне на мен).

[tex]n * n = \overline{aabb}[/tex]
[tex]n * n = 1000a + 100a + 10b + 1b[/tex]
[tex]n * n = 1100a + 11b[/tex]
[tex]n * n = 11(100a + 1b)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\overline{aabb}[/tex] се дели на [tex]11[/tex].

[tex]100a + 1b[/tex] е числото [tex]\overline{a0b}[/tex]
[tex]n[/tex] също се дели на [tex]11[/tex]

Значи имаме [tex]11 * 11 * t * t = 11\overline{a0b}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]11[/tex] дели [tex]\overline{a0b}[/tex].

[tex]11 * t * t = \overline{a0b}[/tex]
[tex]t \ge 4[/tex]

Съответно ако [tex]t = 4, 5, 6, 7, 8, 9[/tex], то [tex]\overline{a0b} = 176, 275, 396, 539, 704, 891[/tex].

От тук виждаме, че [tex]t = 8, \overline{a0b} = 704, a = 7, b = 4, n = 88[/tex].
[tex]a + b + n = 7 + 4 + 88 = 11 + 88 = 99[/tex]

зад.[tex]3[/tex]

Условие:
Намерете броя на трицифрените числа, които имат точно три делителя.

Решение:

Тази задача не е трудна стига да знаеш формулата за броя на делители.
Едно трицифрено число има три делителя, когато е точен квадрат.
Тоест [tex]t * t = \overline{abc}[/tex].

[tex]t \ge 10[/tex]
[tex]t \le 31[/tex]

[tex]t[/tex] трябва да е просто число.

Простите числа от [tex]10[/tex] до [tex]31[/tex] са [tex]11, 13, 17, 19, 23, 29, 31[/tex].

[tex]7[/tex] на брой са.

зад.[tex]4[/tex]

Условие:
Написани са първите [tex]2018[/tex] числа, получени по формулата [tex]n(n + 1)(n + 2) + 1[/tex], където [tex]n \ge 1[/tex] е естествено число. Колко от написаните числа завършват с цифрата [tex]1[/tex]?

Решение:

[tex]n(n + 1)(n + 2)[/tex] трябва да завършва на [tex]0[/tex]

Разглеждаме на коя цифра завършва [tex]n[/tex]:

[tex]1 * 2 * 3[/tex] завършва на [tex]6[/tex]
[tex]2 * 3 * 4[/tex] завършва на [tex]4[/tex]
[tex]3 * 4 * 5[/tex] завършва на [tex]0[/tex]
[tex]4 * 5 * 6[/tex] завършва на [tex]0[/tex]
[tex]5 * 6 * 7[/tex] завършва на [tex]0[/tex]
[tex]6 * 7 * 8[/tex] завършва на [tex]6[/tex]
[tex]7 * 8 * 9[/tex] завършва на [tex]4[/tex]
[tex]8 * 9 * 0[/tex] завършва на [tex]0[/tex]
[tex]9 * 0 * 1[/tex] завършва на [tex]0[/tex]
[tex]0 * 1 * 2[/tex] завършва на [tex]0[/tex]

Има [tex]2018 : 10 = 201[/tex] такива последователности.
Тоест имаме засега [tex]201 * 6 = 1206[/tex] възможности за [tex]n[/tex], които удовлеторяват условието на задачата.
Накрая трябва да проверим [tex]n = 2011, 2012, ... , 2018[/tex].

[tex]1 * 2 * 3[/tex] завършва на [tex]6[/tex]
[tex]2 * 3 * 4[/tex] завършва на [tex]4[/tex]
[tex]3 * 4 * 5[/tex] завършва на [tex]0[/tex]
[tex]4 * 5 * 6[/tex] завършва на [tex]0[/tex]
[tex]5 * 6 * 7[/tex] завършва на [tex]0[/tex]
[tex]6 * 7 * 8[/tex] завършва на [tex]6[/tex]
[tex]7 * 8 * 9[/tex] завършва на [tex]4[/tex]
[tex]8 * 9 * 0[/tex] завършва на [tex]0[/tex]
[tex]9 * 0 * 1[/tex] завършва на [tex]0[/tex]
[tex]0 * 1 * 2[/tex] завършва на [tex]0[/tex]

Тоест имаме [tex]1206 + 4 = 1210[/tex] възможности за [tex]n[/tex].
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ако видите някъде грешка пишете за да си я поправя.

Също така кажете дали задачките стават като трудност. Тоест дали трябва да давам по-трудни или по-лесни задачи. Или такава сложност засега си е добре?

Иначе ми беше приятно да решавам тези задачки. Надявам се да са ви харесали.

[Гост]

Здравейте ! Пак съм аз!

Утре ще пусна още няколко задачки за решаване.

[Гост]

Здравейте! Пак съм аз! Ето няколко интересни задачки:

зад.[tex]1[/tex]
Колко цифри има числото [tex]20^{16}[/tex]?

зад.[tex]2[/tex]
[tex]A = \frac{15}{5 * 8} + \frac{15}{8 * 11} + \frac{15}{11 * 14} + \frac{15}{14 * 17} + \frac{15}{17 * 20} + \frac{15}{20 * 23} + \frac{15}{23 * 26} + \frac{15}{26 * 29}[/tex]

На колко е равно [tex]A[/tex]?

зад.[tex]3[/tex]
Иван намислил четирицифрено число [tex]n[/tex], с различни цифри, такова че като го разделим на [tex]43[/tex] получаваме остатък [tex]41[/tex] и като го разделим на [tex]47[/tex] получаваме остатък [tex]45[/tex]. Колко такива числа има?

зад.[tex]4[/tex]
Колко решения има ребусът: ОН > НО, ако еднаквите букви са еднакви цифри, а различните букви са различни цифри?

Надявам се задачките да ви харесат.
Аз имам мои решения на всяка от тях.
Нека по-големите да не помагат. Да изчакат няколко дни и тогава могат да пуснат решенията си по всяка задача. Искам просто пети и шести клас да се помъчат.

КОМЕНТАР ОТ МЕН:
"Мисля, че тези задaчи, които съм дал сега са по-лесни от преди. Също не се страхувайте да дадете вашите решения. Всеки се учи от грешките."

[Гост]

Също предлагайте задачи и вие. Стига да са за пети и шести клас. Нека развием темата.

[Гост]

Извинявам се пак за безпокойството. Ще напиша решенията на задачите. Подобно в такъв вид:

Скрит текст: покажи

Ето скрито поле.

Така всеки, който иска да си се помъче може да не отваря текстовете. А пък ако искате да видите текста, тоест решенията ми, натиснете ПОКАЖИ. Предполагам че повечето знаете как се работи с това. Съжалявам ако не сте ме разбрали. Нека преминем към решенията ми:

Условие на задача [tex]1[/tex]:

Скрит текст: покажи

Колко цифри има числото [tex]20^{16}[/tex]?

Коментар към задача [tex]1[/tex]:

Скрит текст: покажи

Мисля че тази задача не е много трудна. Трябва да се съобразиш с числото [tex]10[/tex] и [tex]2[/tex].

Решение на задача [tex]1[/tex]:

Скрит текст: покажи

[tex]20^{16} = 10^{16}2^{16}[/tex]
Числото [tex]10^{16}[/tex] съдържа накрая [tex]16[/tex] нули.
Смятаме [tex]2^{16}[/tex], което е [tex]65536[/tex].

Тоест [tex]20^{16} = 10000000000000000 * 65536 = 655360000000000000000[/tex].

Това число съдържа [tex]21[/tex] нули.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Условие на задача [tex]2[/tex]:

Скрит текст: покажи

[tex]A = \frac{15}{5 * 8} + \frac{15}{8 * 11} + \frac{15}{11 * 14} + \frac{15}{14 * 17} + \frac{15}{17 * 20} + \frac{15}{20 * 23} + \frac{15}{23 * 26} + \frac{15}{26 * 29}[/tex]
На колко е равно [tex]A[/tex]?

Коментар към задача [tex]2[/tex]:

Скрит текст: покажи

На пръв поглед трудна, но трябва да знаеш само една формулка, която много лесно се извежда.

Решение на задача [tex]2[/tex]:

Скрит текст: покажи

[tex]A = \frac{15}{5 * 8} + \frac{15}{8 * 11} + \frac{15}{11 * 14} + \frac{15}{14 * 17} + \frac{15}{17 * 20} + \frac{15}{20 * 23} + \frac{15}{23 * 26} + \frac{15}{26 * 29}[/tex]

[tex]A = 5(\frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{11} + ... + \frac{1}{23} - \frac{1}{26} + \frac{1}{26} - \frac{1}{29})[/tex]

Както виждаме се съкращават много дроби. Остава:

[tex]A = 5([/tex][tex]\frac{1}{5}[/tex] [tex]-[/tex] [tex]\frac{1}{29}[/tex] [tex]) =[/tex] [tex]1[/tex] [tex]-[/tex] [tex]\frac{5}{29}[/tex] [tex]=[/tex] [tex]\frac{24}{29}[/tex]

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Условие на задача [tex]3[/tex]:

Скрит текст: покажи

Иван намислил четирицифрено число [tex]n[/tex], с различни цифри, такова че като го разделим на [tex]43[/tex] получаваме остатък [tex]41[/tex] и като го разделим на [tex]47[/tex] получаваме остатък [tex]45[/tex]. Колко такива числа има?

Коментар към задача [tex]3[/tex]:

Скрит текст: покажи

Задачката не е толкова трудна. Трябва да разгледаш всички възможности за [tex]n[/tex].

Решение на задача [tex]3[/tex]:

Скрит текст: покажи

[tex]n : 43 = a (ост.41)[/tex]
[tex]n : 47 = b (ост.45)[/tex]

[tex]43a + 41 = 47b + 45[/tex]
[tex]43(a + 1) - 2 = 47(b + 1) - 2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]n[/tex] дава остатък [tex]43 * 47 - 2 = 2021 - 2 = 2019[/tex], при деление на [tex]43 * 47 = 2021[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

Четирицифрените числа [tex]n[/tex], които изпълняват това условие са [tex]2019, 4040, 6061, 8082[/tex].
Обаче [tex]n[/tex] има различни цифри [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]n = 2019[/tex]

Има едно решение.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Условие на задача [tex]4[/tex]:

Скрит текст: покажи

Колко решения има ребусът: ОН > НО, ако еднаквите букви са еднакви цифри, а различните букви са различни цифри?

Коментар към задача [tex]4[/tex]:

Скрит текст: покажи

Трябва много да се внимава тук.

Решение на задача [tex]4[/tex]:

Скрит текст: покажи

Очевидно е че:

[tex]О > Н[/tex]
[tex]О \ne 0[/tex]
[tex]Н \ne 0[/tex]

[tex]О[/tex] е поне [tex]2[/tex].

Ако [tex]О = 2[/tex] имаме едно решение.
Ако [tex]О = 3[/tex] имаме две решения.
...
Ако [tex]О = 9[/tex] имаме осем решения. [tex]\Rightarrow[/tex]

Имаме общо [tex]\frac{8 * 9}{2} = 4 * 9 =[/tex] [tex]36[/tex] решения

Надявам се задачките, решенията и темата да са ви харесали. Нека развием темата.

Утре или по-късно ще пратя още няколко интересни задачки.

[nick]

Здравейте! Гост, намерих една интересна задача. Ще я пусна с решението си.

Задача:

Скрит текст: покажи

На дъската са записани числата [tex]1, 2, 3, 4, 5, 6[/tex]. Едно от числата се изтрива така, че произведението на две от останалите пет числа е равно на сумата на другите три. Намерете сбора на числата, които могат да се изтрият.

Решение:

Скрит текст: покажи

Ако махнем [tex]1[/tex]:
Можем да разпределим числата така:

[tex]2, 6[/tex]
[tex]3, 4, 5[/tex]

Ако махнем [tex]2[/tex]:
Можем да разпределим числата така:

[tex]3, 4[/tex]
[tex]1, 5, 6[/tex]

Ако махнем [tex]3[/tex]:
Не може да разпределим числата.

Ако махнем [tex]4[/tex]:
Можем да разпределим числата така:

[tex]2, 5[/tex]
[tex]1, 3, 6[/tex]

Ако махнем [tex]5[/tex]:
Не може да разпределим числата.

Ако махнем [tex]6[/tex]:
Не може да разпределим числата. [tex]\Rightarrow[/tex]

Получаваме че сбора на числата, които могат да се изтрият е [tex]1 + 2 + 4 = 7[/tex].

Отг. [tex]7[/tex]

Съжалявам ако някъде не съм използвал правилно Latex-а. Аз съм нов в този форум.

[nick]

Здравейте! Ето една интересна задачка за доказване:

Условие:

Скрит текст: покажи

Иван иска да оцвети всички естествени числа в няколко цвята, един от които е син. Оцветяването трябва да удовлеторява следните условия:

[tex]1.[/tex] Всяко нечетно число трябва да е синьо.
[tex]2.[/tex] Всяко число [tex]n[/tex] има същия цвят като числото [tex]4n[/tex].
[tex]3.[/tex] Цветът на всяко число [tex]n[/tex] съвпада или с цвета на числото [tex]n + 2[/tex] или с цвета на числото [tex]n + 4[/tex].

Да се докаже, че всички числа са сини.

Решение:

Скрит текст: покажи

Да допуснем, че има число [tex]n[/tex], което не е синьо и нека [tex]n[/tex] е червено.

От [tex]1.[/tex] следва че [tex]n = 2m[/tex], и като използваме [tex]2.[/tex] намираме, че [tex]8m[/tex] е червено.
От [tex]3.[/tex] следва че поне едно от двете числа [tex]8m + 2[/tex] и [tex]8m + 4[/tex] е червено. Но [tex]2m + 1[/tex] е синьо и от [tex]2.[/tex] и [tex]8m + 4 = 4(2m + 1)[/tex] следва че [tex]8m + 4[/tex] е синьо. [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]8m + 2[/tex] е червено.
От [tex]3.[/tex] и от това, че [tex]8m[/tex] и [tex]8m + 2[/tex] са червени следва че [tex]8m - 2[/tex] е също червено.
От [tex]3.[/tex] и от това, че [tex]8m - 2[/tex] и [tex]8m[/tex] са червени следва че [tex]8m - 4[/tex] е също червено.

Но [tex]2m - 1[/tex] е синьо и от [tex]2.[/tex] и [tex]8m - 4 = 4(2m - 1)[/tex] следва че [tex]8m - 4[/tex] трябва да е синьо, противоречие. [tex]\Rightarrow[/tex]
Всички числа са сини.

[Гост]

Здравейте! Аз съм създателя на темата.

Харесаха ми решенията и задачките на nick.

[nick]

Здравейте! Намерих интересна задачка:

Скрит текст: покажи

Без заглавие.png (29.84 KiB) Прегледано 2144 пъти

Моето решение:

Скрит текст: покажи

Нека ширината на големия правоъгълник е [tex]a[/tex] см., а дължината - [tex]b[/tex] см.
[tex]a(b - 8) = 20[/tex]
[tex]a(b - 7) = 25[/tex]

[tex]ab - 8a = 20[/tex]
[tex]ab - 7a = 25[/tex]

[tex]ab - 8a + 5 = ab - 7a[/tex]
[tex]ab + 5 = ab + a[/tex]
[tex]a = 5[/tex]
[tex]b = 12[/tex]

Търсеното лице е [tex]ab - (20 + 25) = 5 * 12 - 45 = 60 - 45 = 15[/tex] [tex]м^{2}[/tex].

Надявам се задачката да ви е харесала!

[Гост]

Добро решение . Нека и другите потребители да се включат.

[KOPMOPAH]

Поздравления и за задачите, и за решенията.
Бих си позволил да препоръчам само решенията да са скрити, а условията - видими.

[nick]

Поздравления и за задачите, и за решенията.
Бих си позволил да препоръчам само решенията да са скрити, а условията - видими.

Ще последвам твоя съвет .

[nick]

Здравейте! Намерих няколко интересни задачки.

зад.[tex]1[/tex]

Условие:

HowManySquares.png (47.71 KiB) Прегледано 2108 пъти

За тези от вас, които не знаят английски:
Колко квадрата има на картинката?
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Решение:

Скрит текст: покажи

Най-малките квадратчета са [tex]2 * 4 = 8[/tex] на брой.
Малко по-големите са [tex]2[/tex] на брой.
Останалите най-големи квадрата са [tex]4 * 4 + 3 * 3 + 2 * 2 + 1 * 1 = 16 + 9 + 4 + 1 = 25 + 5 = 30[/tex] на брой.

Общо са [tex]8 + 2 + 30 = 40[/tex] квадрата.

зад.[tex]2[/tex]
Условие:

CatInHat.png (164.29 KiB) Прегледано 2108 пъти

За тези от вас, които не знаят английски:
Шапка [tex]№1[/tex]: Котката е в тази шапка.
Шапка [tex]№2[/tex]: Котката не е в тази шапка.
Шапка [tex]№3[/tex]: Котката не е в шапка [tex]№1[/tex].

Точно едно от твърденията е вярно.
Точно една шапка съдържа котка.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Решение:

Скрит текст: покажи

[tex]1.[/tex] Ако твърдение [tex]№1[/tex] е вярно, то твърдение [tex]№2[/tex] и [tex]№3[/tex] са грешни.
Тогава твърдение [tex]№1[/tex] и [tex]№3[/tex] си противоречат.

[tex]2.[/tex] Ако твърдение [tex]№2[/tex] е вярно, то твърдение [tex]№1[/tex] и [tex]№3[/tex] са грешни.
Тогава твърдение [tex]№1[/tex] и [tex]№3[/tex] си противоречат. [tex]\Rightarrow[/tex]

Вярното твърдение е [tex]№3[/tex]. Котката е в шапка [tex]№2[/tex].

Друга тактика е да видим че твърдение [tex]№1[/tex] и [tex]№3[/tex] са вярно и грешно твърдение (не е задължително да са в този ред).
Това е така, защото и ако двете бяха грешни, то ще си противоречат.

[Евва]

Задача от 17 август 2 021 г. ( 2 начин )
Нека S е лицето на синия правоъгълник и b е широчината му .

8b=25+S и 7b=20+S
56b=175+7S и 56b=160+8S
Това означава ,че 175+7S=160+8S
s=15

[nick]

Задача от 17 август 2 021 г. ( 2 начин )
Нека S е лицето на синия правоъгълник и b е широчината му .

8b=25+S и 7b=20+S
56b=175+7S и 56b=160+8S
Това означава ,че 175+7S=160+8S
s=15

Браво! Много по-лесно и елегантно решение от моето!

[Гост]

Евва много добро решение. А nick: Добри задачи и добри решения имаш.

[nick]

Здравейте! Намерих една интересна задачка:

Условие:
Да се докаже, че всяко от числата [tex]1007, 10017, 100117, ... и.т.н.[/tex] е съставно.

Решение:

Скрит текст: покажи

На пръв поглед сложна.

Така се образуват числата:

[tex]1007, 1007 * 10 - 53, (1007 * 10 - 53) * 10 - 53, ...[/tex]

Лесно виждаме, че [tex]53[/tex] дели [tex]1007[/tex] и всяко следващо число.

[nick]

Намерих една задачка с преобразувания.

Условие:
Намерете стойността на израза [tex]\frac{4a + 3b}{8a - 5b}[/tex], ако знаем че [tex]\frac{a}{b} = \frac{3}{4}[/tex]?

Решение [tex]I[/tex] начин:

Скрит текст: покажи

[tex]\frac{4a + 3b}{8a - 5b} = \frac{4b\frac{a}{b} + 3b}{8b\frac{a}{b} - 5b} = \frac{4b\frac{3}{4} + 3b}{8b\frac{3}{4} - 5b} = \frac{6b}{b} = 6[/tex]

Решение [tex]II[/tex] начин:

Скрит текст: покажи

[tex]\frac{a}{b} = \frac{3}{4} \Rightarrow[/tex]
[tex]4a = 3b \Rightarrow[/tex]

[tex]\frac{4a + 3b}{8a - 5b} = \frac{3b + 3b}{6b - 5b} = \frac{6b}{b} = 6[/tex]

[Гост]

Много добри задачи и решение пускаш. Браво за това!