Задача с факториел за 6 клас!

[Гост]

Разглеждаме числата, равни на 1!, 2!, 3!, ...29!, 30!. От тях можем да умножим
най-много N числа, за да получим точен квадрат. Намерете N.
Пояснение: (1! = 1; 2! = 1.2; 3! = 1.2.3; ...)

[Гост]

Здравейте. Аз съм 4 клас. Не знам дали греша, но според мен N е 2.

[Гост]

Не си прав. Ето произведението според мен:

[tex]6! * 5! * 3! * 24! * 23! * 4![/tex]

Отговорът според мен е [tex]6[/tex].

[pal702004]

Отговорът е 28. При това с няколко варианта.
Нека първо да умножим всички тези факториали, а после да разделим на някои от тях (възможно най-малко) за да се получи квадрат. Произведението е:

$1^{30}\cdot 2^{29} \cdot 3^{28}\cdots 29^2\cdot 30^1$

Нечетните числа са в четна степен - готови квадрати.
Четните числа са в нечетна степен, да отделим по едно от тях, получаваме $2\cdot 4\cdot 6\cdots \cdot 28\cdot 30\cdot t^2$

Или, $2^{15}\cdot 15!\cdot t^2$

$2^{14}$ е квадрат, с други думи произведението на всички факториали е $2\cdot 15!\cdot t^2$ за някое цяло $t$

Очевидно, ако разделим на 2 факториала - 2! и 15! получаваме квадрат. Тоест, $N=28$ е възможно. (Други варианти са, ако разелим на $2!\cdot 16!$ или $14!\cdot 5!$)

Лесно се показва, че $N=29$ е невъзможно - трябва да разделим само на един факториал,той трябва да е по-голям от 12, защото 13 е в нечетна степен. Ако той е по-голям от 16, със сигурност разваляме степента на 17.
Останалите варианти се проверяват.