Равнолицевост и пропорции в триъгълник

[Гост]

Върху лъчите ВC, СА, АВ външно за △АВС с лице S са взети съответно точки D, E, F, така че CD = 1/k.BC ; AE = 1/k.AC ; BF = 1/k.AB.
Да се намери лицето на △DEF.

[S.B.]

Върху лъчите ВC, СА, АВ външно за △АВС с лице S са взети съответно точки D, E, F, така че CD = 1/k.BC ; AE = 1/k.AC ; BF = 1/k.AB.
Да се намери лицето на △DEF.

Без заглавие - 2021-10-14T213213.778.png (286.87 KiB) Прегледано 904 пъти

[tex]S_{DEF } = S + S_{DCE } + S_{BDF } + S_{AEF }[/tex]

1) [tex]S_{DCE }[/tex] :
[tex]\displaystyle\frac{ S_{DCE } }{ S_{BCE } } = \displaystyle\frac{DC}{BC} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{ S_{DCE } }{ S_{BCE } } =\displaystyle \frac{ \displaystyle\frac{1}{k}BC }{BC} \Rightarrow S_{DCE } = \displaystyle\frac{1}{k} S_{BCE }[/tex]
[tex]S_{BCE } = S + S_{ABE }[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{ S_{ABE } }{S} = \displaystyle\frac{AE}{AC} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{ S_{ABE } }{S} = \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{1}{k}AC }{AC} \Rightarrow S_{ABE } = \displaystyle\frac{1}{k}S[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{BCE } = S + \frac{1}{k}S \Rightarrow S_{BCE }= S. \frac{k + 1}{k}[/tex]
[tex]S_{DCE } = \frac{1}{k} S_{BCE } \Rightarrow[/tex]
$$S_{DCE } = S. \frac{k + 1}{ k^{2 } } $$

2)[tex]S_{BDF }[/tex]:
[tex]\displaystyle\frac{ S_{BDF } }{ S_{BDA } } = \displaystyle\frac{BF}{AB} = \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{1}{k}AB }{AB} \Rightarrow S_{BDF } = \displaystyle\frac{1}{k} S_{BDA }[/tex]
[tex]S_{BDA } = S + S_{CDA }[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{ S_{CDA } }{S} = \displaystyle\frac{DC}{BC} = \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{1}{k}BC }{BC} \Rightarrow S_{CDA } = \displaystyle\frac{1}{k} S[/tex]
[tex]S_{BDA } = S + \frac{1}{k}S \Rightarrow S_{BDA } = S \frac{k+1}{k}[/tex]
[tex]S_{BDF } = \frac{1}{k} S_{BDA } \Rightarrow[/tex]
$$S_{BDF } = S \frac{k + 1}{ k^{2 } } $$

3)[tex]S_{AEF }[/tex]:

[tex]\displaystyle\frac{ S_{AEF } }{ S_{ACF } } = \displaystyle\frac{AE}{AC} = \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{1}{k}AC }{AC} \Rightarrow S_{AEF } =\displaystyle \frac{1}{k} S_{ACF }[/tex]
[tex]S_{ACF }= S + S_{BCF }[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{ S_{BCF } }{S} = \displaystyle\frac{BF}{AB} =\displaystyle \frac{ \displaystyle\frac{1}{k}AB }{AB} \Rightarrow S_{BCF } = \displaystyle\frac{1}{k}S[/tex]
[tex]S_{ACF } = S + \frac{1}{k}S \Rightarrow S_{ACF } = S \frac{k + 1}{k}[/tex]
[tex]S_{AEF } = \frac{1}{k} S_{ACF } = \frac{1}{k}S \frac{k+1}{k} \Rightarrow[/tex]
$$S_{AEF } = S \frac{k+1}{ k^{2 } } $$
[tex]S_{EFD } = S + S_{ECD } + S_{AEF } + S_{BFD } = S + 3S \frac{k+1}{ k^{2 } } \Rightarrow[/tex]
$$S_{EFD } = \frac{ k^{2 } + 3k + 3}{ k^{2 } } S$$