QuestionsForYou - игра със задачки

[QuestionsForYou]

Здравейте! Аз съм QuestionsForYou! Нека се представя:
Аз съм бивш възпитаник на СМГ. На $20$ години съм. Обичам да решавам задачи по математика. Понякога аз сам си измислям и ми е много кеф.

Нека обясня какво ще пращам в тази тема:
Горе-долу всеки ден ще пращам задачки решими с материал $5$ и $6$ клас. Вие съответно трябва да ги решите. Няма значение на каква възраст сте. Ще ми е интересно да видя различни решения. Ще правя нещо като класации, кой потребител, каква задача е решил.

Надявам се темата да стане популярна във форума и повече потребители да пишат в нея за да стане по-интересна.

Забележки:
Задачите ще давам аз, както може и вие. Стига да с материал до $6$ клас. От няколко месеца следя форума и искам да поздравя S.B, КОРМОРАН, Nathi123, Davids, pal702004, Евва, peyo, mail_dinko, ammornil и много други за добрите решения на каквито и да е видове задачи.

Публикувани задачи до момента:

Задача $1$ - задачата публикувана от QuestionsForYou - публикувана на $29$ октомври $2021$ година - решена от
Докажете, че числото $63 + n^{6}$ е кратно на $72$, ако $n$ е естествено число, за което е вярно равенството:

$(\frac{2}{3})^{n + 3} * (\frac{2}{3})^{2} = \frac{6^{2} * 128 * 81^{6} * 2015^{0}}{(3^{4})^{5} * 8 * 27^{4}}$

[QuestionsForYou]

Задача 1
Докажете, че числото $63 + n^{6}$ е кратно на $72$, ако $n$ е естествено число, за което е вярно равенството:

$(\frac{2}{3})^{n + 3} * (\frac{2}{3})^{2} = \frac{6^{2} * 128 * 81^{6} * 2015^{0}}{(3^{4})^{5} * 8 * 27^{4}}$

[nick]

Задача 1
Докажете, че числото $63 + n^{6}$ е кратно на $72$, ако $n$ е естествено число, за което е вярно равенството:

$(\frac{2}{3})^{n + 3} * (\frac{2}{3})^{2} = \frac{6^{2} * 128 * 81^{6} * 2015^{0}}{(3^{4})^{5} * 8 * 27^{4}}$

Нека първо да намерим $n$.

$\frac{6^{2} * 128 * 81^{6} * 2015^{0}}{(3^{4})^{5} * 8 * 27^{4}} = \frac{(2 * 3)^{2} * 2^{7} * (3^{4})^{6} * 1}{3^{20} * 2^{3} * (3^{3})^{4}} = \frac{2^{2} * 3^{2} * 2^{7} * 3^{24}}{3^{20} * 2^{3} * 3^{12}} = \frac{2^{9} * 3^{26}}{2^{3} * 3^{32}} = \frac{2^{6}}{3^{6}}$

$(\frac{2}{3})^{n+3} = \frac{2^{6}}{3^{6}} = (\frac{2}{3})^{6}$ [tex]\Rightarrow[/tex]

$n + 3 = 6$
$n = 3$

$63 + n^{6} = 63 + 3^{6} = 3^{2} * 7 + 3^{6} = 3^{2} * (3^{4} + 7) = 9 * 88 = 9 * 8 * 11 = 72 * 11$ [tex]\Rightarrow[/tex]

Доказахме, че числото $63 + n^{6}$ е кратно на $72$.

[QuestionsForYou]

Браво nick! Ти имаш $1$ решена задача за тази седмица!

[QuestionsForYou]

Задача $2$
Фигурата на чертежа е съставена от четири големи квадрата с равни страни и един малък квадрат. Страната на всеки от големите квадрати е $4$ пъти по-голяма от страната на малкия квадрат и дължината на начупената линия $ABCD$ е $30$ см. Да се намерят лицето и обиколката на получената фигура.

Zadacha_2.png (5.27 KiB) Прегледано 1074 пъти

[Davids]

Задача $2$
Фигурата на чертежа е съставена от четири големи квадрата с равни страни и един малък квадрат. Страната на всеки от големите квадрати е $4$ пъти по-голяма от страната на малкия квадрат и дължината на начупената линия $ABCD$ е $30$ см. Да се намерят лицето и обиколката на получената фигура.

Zadacha_2.png

Дължината на начупената линия се състои от две големи плюс две малки страни. А след като голямата е четири пъти малката, това прави общо 10 пъти малката страна да е 30см. Значи малката е 3, оттам голямата е 12.
В обиколката всеки "голям квадрат" да го кажем участва с две свои страни и една част от третата, равна на малката страна. И това се повтаря 4 пъти, значи обиколката е общо:
$P = 4(12 + 12 + 3) = 4.27 = 108$ см.
Лицето е по-лесно: четири големи квадрата и един малък, т.е.
$S = 4.12^2 + 3^2 = 4.144 + 9 = 585$ см$^2$

[QuestionsForYou]

Браво Davids! Ти имаш $1$ решена задача за тази седмица!

[QuestionsForYou]

Задача $3$ - Авторова задача
В декартова координатна мрежа са сложени т.$A(-4, 2)$, т.$B(-3, -5)$, т.$C(3, 1)$. Намерето лицето на [tex]\triangle ABC[/tex].

[nick]

Задача $3$ - Авторова задача
В декартова координатна мрежа са сложени т.$A(-4, 2)$, т.$B(-3, -5)$, т.$C(3, 1)$. Намерето лицето на [tex]\triangle ABC[/tex].

8.png (206.82 KiB) Прегледано 1035 пъти

$S_{ABC} = 7 \times 7 - (7 \times 1 : 2 + 7 \times 1 : 2 + 6 \times 6 : 2) = 7 \times 7 - (7 \times 1 + 36 : 2) = 49 - (7 + 18) = 49 - 25 = 24$ квадратчета

[QuestionsForYou]

Браво nick! Ти имаш $2$ решени задачи за тази седмица!

[QuestionsForYou]

Задача $4$ - Авторова задача
Ана, Боян, Виктор и Георги решавали задачи по математика.
Ана, Боян и Виктор решили общо $18$ задачи.
Боян, Виктор и Георги решили общо $19$ задачи.
Ана, Боян и Георги решили общо $21$ задачи.
Ана, Виктор и Георги решили общо $23$ задачи.

Колко задачи е решил всеки от тях?

[nick]

Задача $4$ - Авторова задача
Ана, Боян, Виктор и Георги решавали задачи по математика.
Ана, Боян и Виктор решили общо $18$ задачи.
Боян, Виктор и Георги решили общо $19$ задачи.
Ана, Боян и Георги решили общо $21$ задачи.
Ана, Виктор и Георги решили общо $23$ задачи.

Колко задачи е решил всеки от тях?

Нека Ана е решила $a$ задачи, Боян - $b$ задачи, Виктор - $c$ задачи, а Георги - $d$ задачи.
Тогава:

$$a + b + c = 18$$
$$b + c + d = 19$$
$$a + b + d = 21$$
$$a + c + d = 23$$

Събираме четирите реда и става:

$$a + b + c + b + c + d + a + b + d + a + c + d = 3a + 3b + 3c + 3d = 3(a + b + c + d) = 18 + 19 + 21 + 23 = 41 + 40 = 81$$
$$a + b + c + d = 81 : 3 = 27$$

$$a + b + c + d = (a + b + c) + d = 18 + d = 27$$
$$d = 27 - 18 = 9$$

$$a + b + c + d = a + (b + c + d) = a + 19 = 27$$
$$a = 27 - 19 = 8$$

$$a + b + c + d = (a + b + d) + c = 21 + c = 27$$
$$c = 27 - 21 = 6$$

$$a + b + c + d = (a + c + d) + b = 23 + b = 27$$
$$b = 27 - 23 = 4$$

Имаме $a = 8, b = 4, c = 6, d = 9$ [tex]\Rightarrow[/tex]

Отг.
Ана е решила $8$ задачи.
Боян е решил $4$ задачи.
Виктор е решил $6$ задачи.
Георги е решил $9$ задачи.

[QuestionsForYou]

Браво nick! Имаш $1$ решена задача за тази седмица!