диофантово уравнение

[martin123456]

Намерете всички цели числа, че [tex]x^3+y^4= 7[/tex].

[estoyanovvd]

Лесно се вижда, че [tex]x\le 1[/tex]. Проверяваме за едно и нула, че не е възможно. Следователно спокойно можем да смятаме, че хикса е отрицателно число. Нека положим [tex]x=-t[/tex]. Получаваме уравнението [tex]y^{4}-t^{3}=7[/tex]. Сега ако положим и [tex]y^{2}=z[/tex], то уравнението добива вида [tex]z^{2}-t^{3}=7[/tex], което е добре известното уравнение на Лебег. По скоро теорема на Лебег, която гласи, че така полученото уравнение няма решение в естествени числа, а зет и те са точно такива от горните разсъждения.

[estoyanovvd]

А как се доказва последното, друг път! Ще отбележа само, че се използва известното твърдение от теория на числата, че израз от вида [tex]X^{2}+1[/tex] няма делител от вида 4k+3.

[martin123456]

ок, не си го спомням това уравнение. по принцип задачата е за 5,6 клас.

[estoyanovvd]

?!

[martin123456]

ок, не си го спомням това уравнение. по принцип задачата е за 5,6 клас.

искам да потвърдя, че задачата се решава с материал за 5,6 клас, така че остава отворена

[dim]

Лесно се вижда, че [tex]x\le 1[/tex]. Проверяваме за едно и нула, че не е възможно. Следователно спокойно можем да смятаме, че хикса е отрицателно число. Нека положим [tex]x=-t[/tex]. Получаваме уравнението [tex]y^{4}-t^{3}=7[/tex]. Сега ако положим и [tex]y^{2}=z[/tex], то уравнението добива вида [tex]z^{2}-t^{3}=7[/tex], което е добре известното уравнение на Лебег. По скоро теорема на Лебег, която гласи, че така полученото уравнение няма решение в естествени числа, а зет и те са точно такива от горните разсъждения....
...А как се доказва последното, друг път! Ще отбележа само, че се използва известното твърдение от теория на числата, че израз от вида [tex]X^{2}+1[/tex] няма делител от вида 4k+3.

Мисля, че имаш впредвид доказателство, чрез представянето: [tex]z^2+1=(t+2)(t^2-2t+4)[/tex] и понеже [tex]t=2k+1[/tex] ( ако z=2k+1 имаме противоречие: четно=нечетно), вторият множител от дясно ще има вид [tex]4k+3[/tex] => в каноничното му разлагане ще има поне едно просто число от вид [tex]4k+3[/tex]. Не съм чувал за у-е на Лебег, знам само, че има интеграл на Лебег..., но всички тия каскади нямат много смисъл според мен, защото нещата стават с изследване на прости четности (стига да нямам някаква грешка в сметките):

1. Нека [tex]x=2m+1[/tex], [tex]y=2m[/tex] => [tex]16m^2=7-(2m+1)^3=6 - 6m - 12m^2 - 8m^3[/tex]<=>[tex]8m^2=3-3m-6m^2-4m^2[/tex] - невъзможно: чено=нечетно.

2. [tex]x=2m[/tex], [tex]y=2n+1[/tex] => [tex]8m^2=6 - 8 n - 24 n^2 - 32n^3 - 16n^4[/tex], което пак не става.

Т.е. излиза, че си усложняваме живота с тъй нареченото, добре известно в някои среди у-е на Лебег:[tex]z^2-t^3=7[/tex].

[martin123456]

за 2 съм абсолютно съгласен. но за 1:
[tex]x=2n+1[/tex], [tex]y=2m[/tex]
[tex]8m^4=3-3n-6n^2-4n^3[/tex] ако [tex]n[/tex] е нечетно нямаме проблем с четността, ако аз не съм си объркал сметките

[dim]

Не си объркал. Прав си - тук няма проблем с четностите. Реших, че щом е 5-6 клас сигурно ще става само с четности, но сгреших.

[estoyanovvd]

Нямам основание да се съмнявам във книгата на Вацлав Серпински - 250 задачи по елементарна теория на числата. Друг е въпросът, че това уравнение е частен случай от уравнението на Мордел.

[martin123456]

никой не твърди че ни лъжеш, обаче задачата съм я сложил в 5,6 клас форума, значи се решава със знания за тези класове.

[estoyanovvd]

Точно в това се съмнявам.

[martin123456]

знам

[indy]

Ето и една подобна за 3 клас: Решете [tex]x^4+y^7=31^{10}[/tex]

Просто назубряш нещо и ОПА.., Велик си!

[Baronov]

Мисля, че имаш впредвид доказателство, чрез представянето: [tex]z^2+1=(t+2)(t^2-2t+4)[/tex]

[tex]z^2+1=(t+2)(t^2-2t+4)=(t+2)((t-1)^2+3)[/tex]

1сл. t-1 - четно => [tex](t-1)^2+3[/tex] е от вида 4k+3 и следователно има прост делител от същия вид.

2сл. (t-1) - нечетно => [tex](t-1)^2+3[/tex] се дели на 4 => [tex]z^2+1[/tex] се дели на 4. Противоречие.

[estoyanovvd]

Точно така. Сега остана да докажеш с материал за 6-ти клас, че [tex]z^{2}+1[/tex] няма делител от вида 4k+3.

[Baronov]

Точно така. Сега остана да докажеш с материал за 6-ти клас, че [tex]z^{2}+1[/tex] няма делител от вида 4k+3.

Сигурен съм, че има хора, които знаят малката теорема на Ферма в 6 клас. Аз я прочетох в 7-ми клас в един учебник за 8-ми, но разбира се аз не съм бил в СМГ. Там сигурно се учи по-рано.

[martin123456]

Намерете всички цели числа, че [tex]x^3+y^4=7[/tex].

може би е време да напиша решението
разглеждаме уравнението по модул 13
[tex]x^3 \in \{0,1,5,8,12\}[/tex]
[tex]y^4 \in \{0,1,3,9\}[/tex]
като ги съберем [tex]x^3+y^4 \in \{0,1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12\}[/tex]

[estoyanovvd]

Даааа, вярно, че може! Но не върви по този начин за [tex]x^{3}+y^{2}=7[/tex]. Всъщност аз понеже обобщих уравнението, в един момент забравих, че това е частен случай.

[dim]

Аз се сетих за нещо друго опитвайки се да разсъждавам като петокласник:
Използвам, че [tex]y^4[/tex] винаги завършва на [tex]0[/tex] или [tex]6[/tex], когато е четно => [tex]x^3[/tex] би трябвало да завършва съответно на [tex]3[/tex] или [tex]9[/tex] (следва от [tex]x<0[/tex] и [tex]x^3<y^4[/tex]). Като се разгледат двете страни на у-то по [tex](mod 4)[/tex] получаваме [tex]y=4k+3[/tex]. Ако завършва на [tex]3[/tex] => [tex]5|k[/tex], тогава от [tex]5|y[/tex]=> [tex]5|4[/tex] - противоречие. Ако завършва на [tex]9[/tex] то и [tex]k[/tex] завършва на [tex]9[/tex], но [tex]y^4=4(1-k)[/tex] => [tex]y[/tex] завършва на [tex]0[/tex] - противоречие => няма решение.

[martin123456]

[tex]x^3[/tex] трябва да завършва на -3 или на -9. ?

[dim]

Ами ако [tex]y^4[/tex] завършва на 0. имаме все едно (xxx..xxx0 - xxx...xxxZ)=7>0 , тогава Z=3, понеже разликата е 7. Примерно 100-13, 1110-43, 10-3,..., аналогично за другото. Греша ли някъде?

[martin123456]

в такъв случай [tex]-x^3[/tex] завършва на -3?
т.е. на 7

[dim]

Гледам само цифрата на която завършва x^3, съобразявайки, че е [tex]x<0[/tex] и [tex]y^4>|x^3|[/tex]. Не знам дали се разбираме.

[martin123456]

Аз се сетих за нещо друго опитвайки се да разсъждавам като петокласник:
Използвам, че [tex]y^4[/tex] винаги завършва на [tex]0[/tex] или [tex]6[/tex], когато е четно => [tex]x^3[/tex] би трябвало да завършва съответно на [tex]3[/tex] или [tex]9[/tex] (следва от [tex]x<0[/tex] и [tex]x^3<y^4[/tex]). Като се разгледат двете страни на у-то по [tex](mod 4)[/tex] получаваме [tex]y=4k+3[/tex]. Ако завършва на [tex]3[/tex] => [tex]5|k[/tex], тогава от [tex]5|y[/tex]=> [tex]5|4[/tex] - противоречие. Ако завършва на [tex]9[/tex] то и [tex]k[/tex] завършва на [tex]9[/tex], но [tex]y^4=4(1-k)[/tex] => [tex]y[/tex] завършва на [tex]0[/tex] - противоречие => няма решение.

[tex]x^3+y^4=7[/tex]
знаем че x е отрицателно нечетно, а y е четно.
полагаме x=-t, t нечетно, положително
[tex]y^4 = t^3 +7[/tex]
[tex]y^4[/tex] винаги завършва на 0 или на 6
значи [tex]t^3 + 7[/tex] завършва на 0 или на 6, следователно [tex]t^3[/tex] завършва на 3 или на 9.
значи си прав за това на колко завършва [tex]x^3[/tex]
(обърквам се от това отрицателно x)
модул 4: [tex]t^3 \equiv 1 (mod 4)[/tex] (което е същото както ти си написал [tex]x=4k+3[/tex]). нека [tex]t=4k+1[/tex]
1) ако завършва на 3.
значи k е някое от 3, 8
(в твоя случай x=4k+3 и x завършва на 3 -- k завършва на 4, 9, понеже k е отрицателно)