Задача от сборник "Магията на интелекта"...

[KOPMOPAH]

8.jpg (127.01 KiB) Прегледано 835 пъти

Задачата е за шести клас. Моля за съдействие от колегите, които могат да посочат решение с материал и знания за шести клас. Моето е под спойлера.

Скрит текст: покажи

За една минута студеният кран изпълва $\frac 1{23}$ от ваната. Той е текъл $x$ минути, следователно е напълнил $\frac x{23}$. Топлият кран пълни $\frac 1{17}$ от ваната, двата крана са текли заедно $y$ минути и са напълнили $\frac y{17}+\frac y{23}$. Имаме общо $\frac x{23}+\frac y{17}+\frac y{23}=1$. Освен това $\frac{x+y}{23}=\frac 32.\frac y{17}$.

Правим система, за съжаление - непозната за шестокласник
$$\begin{array}{|l} \displaystyle \frac x{23}+\frac y{17}+\frac y{23}=1 \\ \displaystyle \frac{x+y}{23}=\frac 32.\frac y{17}\end{array}$$

Полагаме $\frac{x+y}{23}=a$, $\frac y{17}=b$
Системата става $$\begin{array}{|l} a+b= 1 \\\displaystyle a=\frac 32b \end{array}\Rightarrow a=\frac 35, b=\frac 25$$Нататък $$y=\frac {34}5 min, \frac{x+y}{23}=\frac 35\Rightarrow x+\frac {34}5=\frac {69}5, x=\frac{35}5=7 min$$

[ammornil]

Screenshot 2022-04-25 204316.png (87.46 KiB) Прегледано 814 пъти

[S.B.]

Студеният кран сам пълни ваната за $23$ мин. [tex]\Rightarrow[/tex] производителността му е [tex]P = \frac{1}{23}[/tex]
Топлият кран сам пълни ваната за $17$ мин. [tex]\Rightarrow[/tex] производителността му е [tex]P = \frac{1}{17}[/tex]
В началото работи само студеният кран, но после се включва и топлият и останалата част от ваната я пълнят заедно.
Според мен трябва да се намери производителността на двата крана едновременно.
Нека двата крана едновременно пълнят ваната за $t$ минути.
Тогава работата на студения кран ще е [tex]\frac{t}{23}[/tex], а на топлия [tex]\frac{t}{17}[/tex]
[tex]\frac{t}{23} + \frac{t}{17} = 1 \Leftrightarrow 40t = 391 \Rightarrow t = \frac{391}{40}[/tex]
Получих,че двата крана заедно пълнят ваната за [tex]\frac{391}{40}[/tex] минути [tex]\Rightarrow[/tex] производителността им,когато работят заедно е [tex]P = \frac{40}{391}[/tex]
Никола отворил първо студения кран.Нека той е работил $x$ минути.Работата ,която е свършил е [tex]\frac{x}{23} \Rightarrow[/tex] останалата част от ваната ,която трябва да напълнят заедно двата крана е [tex]A = 1 - \frac{x}{23} = \frac{23 - x}{23}[/tex]
[tex]A = P.t \Leftrightarrow \displaystyle \frac{23 - x}{23} = \displaystyle\frac{40}{391}.t \Rightarrow t =\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{23 - x}{23} }{\displaystyle \frac{40}{391} } = \displaystyle \frac{17(23 - x)}{40}[/tex] (това е времето през което ще работят и двата крана)

Работата на студения кран е [tex]A_{ст } = \frac{x}{23} + \frac{17(x - 23)}{40} . \frac{1}{23}[/tex]

Работата на топлия кран е [tex]A_{т } = \frac{17(23 - x)}{40} \frac{1}{17}[/tex]

Работата на студения кран е да пълни ваната със студена вода, а на топлия - да пълни ваната с топла вода
Студената трябва да бъде $1,5$ пъти повече от топлата [tex]\Rightarrow \frac{ A_{ст } }{ A_{т } } = \frac{3}{2}[/tex]:

[tex]\displaystyle\frac{\displaystyle \frac{x}{23}+ \displaystyle \frac{17(23 - x)}{40}.\displaystyle \frac{1}{23} }{\displaystyle \frac{17(23 - x)}{40}.\displaystyle \frac{1}{17} } = \displaystyle \frac{3}{2} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{40x + 17(23 - x)}{23.40} }{\displaystyle \frac{17(23 - x)}{17.40} } = \displaystyle \frac{3}{2} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{40x + 17(23 - x)}{23(23 - x)} = \displaystyle \frac{3}{2} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]80x + 34(23 - x) = 69(23 - x) \Leftrightarrow 80x = 35(23 - x) \Leftrightarrow 16x = 7(23 - x) \Leftrightarrow 23x = 7.23 \Rightarrow x = 7[/tex]

Никола трябва да отвори $7$ минути по-късно топлата вода , за да бъде стъдената $1,5$ пити повече от топлата