Друга задача от сборник "Магията на интелекта"...

[KOPMOPAH]

9.jpg (145.63 KiB) Прегледано 965 пъти

Имам решение с повече от една променлива, но пак трябва да се реши с материал за шести клас.

Скрит текст: покажи

Нека в съда от 6 литра концентрацията е $a$, а в този от 12 литра - $b$, $a\ne b$, защото ако $a=b$ преливането е безсмислено. От двата съда са взели по $x$ литра и са получили във всеки от тях концентрация $c$. Получаваме системата$$\begin{array}{|l} (6-x)a+x.b=6c\\ (12-x)b+x.a=12c \end{array}$$Решаваме $$\begin{array}{|l} (6-x)a+x.b=6c~~|\times 2\\ (12-x)b+x.a=12c \end{array}$$Извършваме действията $$\begin{array}{|l} 12a-2ax+2bx=12c \\ 12b-bx+ax=12c \end{array}$$Изваждаме второто уравнение от първото и получаваме$$12(a-b)=3(a-b)x$$Доколкото $a\ne b$, както стана дума по-горе, можем да разделим лявата и дясната част на $(a-b)$ и получаваме $x=4$.

Интересното в случая е това, че концентрацията на двата разтвора, както и крайната концентрация нямат значение за отговора Но, разбира се, един шестокласник няма да въведе три неизвестни, които впоследствие да изчезнат...

[ptj]

Колегата е написал решението, но не го е обяснил подходящо...

Идеята е в новите ратвори да се запазят съотношенията между количествата, които взимаме от изходните два разтвора за да имаме еднаква концентрация).

Ето малко по-подробно обяснеие:

Нека кръстим изходните разтвори с 1 и 2 , а новополучените с 3 и 4.

Какво правим :

-Взимаме [tex]x[/tex] литра от разтвор 1 и ги смесваме с [tex](12-x)[/tex] литра от разтвор 2. Това е разтвор 3.

-Взимаме [tex](6-x)[/tex] литра от разтвор 1 и ги смесваме с [tex]x[/tex] литра от разтвор 2. Това е разтвор 4.

За да получим еднакви концентрации в разтвори 3 и 4, независещи от съответните на изходните 1 и 2, трябва да използваме за тях пропроционални съотношения за съставките.

Т.е.
[tex]x:(12-x)=(6-x):x[/tex]

[tex]x^2=(6-x)(12-x)[/tex]

[tex]18x=72[/tex]

[tex]x=4[/tex]

[S.B.]

Нека концентрацията на първия разтвор е [tex]\varphi _{1 }[/tex],на втория разтвор е [tex]\varphi _{2 }[/tex], а на новополучените разтвори е [tex]\varphi[/tex]
По условие [tex]\varphi _{1 } \ne \varphi _{2 }[/tex]
За първия разтвор :
[tex]m_{1 } = 12. \varphi _{1 }[/tex]
За втория разтвор :
[tex]m_{2 } = 6. \varphi _{2 }[/tex]
След отливане по $x$ литра от всеки разтвор и прибавянето им към другия разтвор се получават разтвори с еднаква концентрация:
[tex]m_{1 } = (12 - x) \varphi _{1 } + x. \varphi _{2 } = 12. \varphi \Rightarrow m_{1 } = 12. \varphi[/tex]
[tex]m_{2 } = (6 - x) \varphi _{2 } + x . \varphi _{1 } = 6. \varphi \Rightarrow m_{2 } = 6. \varphi[/tex]

Образувам пропорцията:

[tex]\frac{ m_{1 } }{ m_{2 } } = \frac{(12 - x) \varphi _{1 } + x. \varphi _{1 } }{(6 - x) \varphi _{2 }+ x. \varphi _{1 } } = \frac{12. \varphi }{6. \varphi } \Leftrightarrow \frac{(12 - x) \varphi _{1 } + x. \varphi _{2 } }{(6 - x) \varphi _{2 } + x. \varphi _{1 } } = \frac{2}{1} \Rightarrow[/tex] (по основното свойство на прпорциите)

[tex](12 - x) . \varphi _{1 } + x. \varphi _{2 } = 2.(6 - x) \varphi _{2 } + 2x. \varphi _{1 }[/tex]

[tex]12 \varphi _{1 } - x \varphi _{1 } + x \varphi _{2 } = 12 \varphi _{2 } - 2x \varphi _{2 } + 2x \varphi _{1 }[/tex]

[tex]12( \varphi _{1 } - \varphi _{2 }) = 3x( \varphi _{1 } - \varphi _{2 })[/tex]

[tex]12( \varphi _{1 } - \varphi _{2 } )- 3x( \varphi _{1 } - \varphi _{2 }) = 0 \Leftrightarrow ( \varphi _{1 } - \varphi _{2 })(12 - 3x) = 0[/tex]

По условие [tex]\varphi _{1 } \ne \varphi _{2 } \Rightarrow \varphi _{1 } - \varphi _{2 } \ne 0[/tex]

Остава ,че [tex]12 - 3x = 0 \Leftrightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4[/tex] литра