Интересна задачка

[Jdoe]

Здравейте, група! Имам едно питане - какъв отговор смятате, че се получава?

[pal702004]

$150$

[Гост]

$150$

Как се представя решението?

[Jdoe]

$150$

Аз получих 60. Бихте ли споделили израза, за да сверя?

[Евва]

Аз разсъждавах по следния начин :Броя дръвчета се дели на 10 [tex]\Rightarrow[/tex]
означаваме магнолиите 1А0 .
А=?
За удобство ще записваме А-1 =а .
1А0 -6 се дели на 9
1а4 се дели на 9 [tex]\Rightarrow[/tex] 1+а+4 се дели на 9 (1)

1А0 -6 се дели на 12
1а4 се дели на 12 т.е. 1а4 се дели на 3 и на 4
За да се дели на 3 вече го разгледахме в (1) .
1а4 се дели на 4 [tex]\Rightarrow[/tex] а4 се дели на 4 (2)

За да удовлетворява (2) ,трябва а= 0 ;2 ;4 ;6 или 8 .
а) а=0 и зам . в (1) [tex]\Rightarrow[/tex] 1+0+4 не се дели на 9
б) а=2 ; 1+2+4 не се дели на 9
в) а=4 ; 1+4+4 се дели на 9
г) а=6 ; 1+6+4 не се дели на 9
д) а=8 ; 1+8+4 не се дели на 9

Получихме единствено решение при а=4 [tex]\Rightarrow[/tex] А-1=4 ; А=5 .
Означихме броя на магн. 1А0 ,тогава отговорът е 150 .

[Гост]

Аз разсъждавах по следния начин :Броя дръвчета се дели на 10 [tex]\Rightarrow[/tex]
означаваме магнолиите 1А0 .
А=?
За удобство ще записваме А-1 =а .
1А0 -6 се дели на 9
1а4 се дели на 9 [tex]\Rightarrow[/tex] 1+а+4 се дели на 9 (1)

1А0 -6 се дели на 12
1а4 се дели на 12 т.е. 1а4 се дели на 3 и на 4
За да се дели на 3 вече го разгледахме в (1) .
1а4 се дели на 4 [tex]\Rightarrow[/tex] а4 се дели на 4 (2)

За да удовлетворява (2) ,трябва а= 0 ;2 ;4 ;6 или 8 .
а) а=0 и зам . в (1) [tex]\Rightarrow[/tex] 1+0+4 не се дели на 9
б) а=2 ; 1+2+4 не се дели на 9
в) а=4 ; 1+4+4 се дели на 9
г) а=6 ; 1+6+4 не се дели на 9
д) а=8 ; 1+8+4 не се дели на 9

Получихме единствено решение при а=4 [tex]\Rightarrow[/tex] А-1=4 ; А=5 .
Означихме броя на магн. 1А0 ,тогава отговорът е 150 .

Каква е идеята на за А-1=а?

[liam]

Аз разсъждавах по следния начин :Броя дръвчета се дели на 10 [tex]\Rightarrow[/tex]
означаваме магнолиите 1А0 .
А=?
За удобство ще записваме А-1 =а .
1А0 -6 се дели на 9
1а4 се дели на 9 [tex]\Rightarrow[/tex] 1+а+4 се дели на 9 (1)

1А0 -6 се дели на 12
1а4 се дели на 12 т.е. 1а4 се дели на 3 и на 4
За да се дели на 3 вече го разгледахме в (1) .
1а4 се дели на 4 [tex]\Rightarrow[/tex] а4 се дели на 4 (2)

За да удовлетворява (2) ,трябва а= 0 ;2 ;4 ;6 или 8 .
а) а=0 и зам . в (1) [tex]\Rightarrow[/tex] 1+0+4 не се дели на 9
б) а=2 ; 1+2+4 не се дели на 9
в) а=4 ; 1+4+4 се дели на 9
г) а=6 ; 1+6+4 не се дели на 9
д) а=8 ; 1+8+4 не се дели на 9

Получихме единствено решение при а=4 [tex]\Rightarrow[/tex] А-1=4 ; А=5 .
Означихме броя на магн. 1А0 ,тогава отговорът е 150 .

Защо не направим следното:
Нека означим с x броят на редиците, в които магнолиите са 9, с у - броят на редиците, в които магнолиите са 12 и t числото, което умножено по 10 се получава броят на магнолиите, които е [tex]\le[/tex]180.
Оттук съставяме следната система:
[tex]\begin{array}{|l} 9.x+ 6 = 10.t \\ 12.y+6=10.t\end{array} \Rightarrow
\begin{array}{|l} 3.(3.x+ 2)= 10.t \\ 6.(2y+1)=10.t\end{array}[/tex]
Това ни дава повод да осъзнаем, че числото t се дели и на 3, и на 2. Ще представим t като произведение от множителите 3 и z [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t=3.z[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} 3.(3.x+ 2)= 10.3.z\\ 6.(2y+1)=10.3.z\end{array}\Rightarrow
\begin{array}{|l} 3.x+ 2= 10.z\\ 2.(2y+1)=10.z\end{array} \Rightarrow
\begin{array}{|l} 3.x+ 2= 10.z\\ 2.(2y+1)=2.5.z\end{array} \Rightarrow
\begin{array}{|l} 3.x+ 2= 10.z\\ 2y+1=5.z\end{array} \Rightarrow[/tex]
Оттук z може да бъде число от 1 до 9, като е изпълнено, че след заместването си трябва да се дели на 3 и на 2, а единственото число (цифра), което изпълнява тези условия е 5. Оттук заключваме, че множителите са 3 и 5, а полученото число е 150.
Надявам се да съм хвърлил светлина.
Евва страхотно решение!

[peyo]

Здравейте, група! Имам едно питане - какъв отговор смятате, че се получава?

x = 9i + 6
x = 12j + 6
x = 10k

9i + 6 = 12j + 6
i = 12j/9 = 4j/3

10k = 9i + 6
10k = 9(4j/3) + 6
k = (12j + 6)/10
k = 6(2j + 1)/10
k = 2(2j + 1)/5

За да бъде k цяло число трябва (2j+1) да се дели на 5, значи
(2j+1) = 5n
j = (5n-1)/2

това j пък да е цяло, трябва n да е нечетно (и x = 12j + 6)
n=1,3,5,7,9...
j=2,7,12,17,22
x=30,90,150,210,270

Най-голямото по-малко или равно на 180 е 150, значи може да засядят 150. Но може да засадят и всичко останали по-малки, защото не е казано в задачата че се търси максимума.

[pal702004]

x=30,90,150,210,270

Сега остана да проверим какви остатъци дават тези числа при делене на 9. Помним признака за делимост на 9, нали?

[pal702004]

1. Колко са числата, не по-големи от 180, със сбор от цифрите 6 и завършващи на 0?
2. Колко от тях дават остатък 6 при делене на 12?

[peyo]

x=30,90,150,210,270

Сега остана да проверим какви остатъци дават тези числа при делене на 9. Помним признака за делимост на 9, нали?

A, моя грешка! Само 150 отговаря на условието на задачата. Аз си мислех, че всички отговарят без да ги проверя, защото дойдоха от уравненията, но това нямало значение.