Колко различни стойности може да има лицето на правоъгълника

[Гост]

1. Обиколката на правоъгълник е 2022 см, а дължините на страните му са изразени в цели числа сантиметри. Колко различни стойности в квадратни сантиметри може да има лицето на такъв правоъгълник?


2. Правогьлник разрязали на 4 малки правогьлника. Обиколките на три от тях са 10 см, 12 см и 14 см. Намерете обиколката на четвртия правогьлник. Посочете всички възможни отговори.

[ptj]

Предполагам, че отново са МГ или състезания .
1-ва:
Обиколката се задава от [tex]a+b=1011[/tex], докато лицето от [tex]a.b.[/tex]

За да избегнеш повторенията при лицето без загуба на общност може да приемеш едната от двете страни за по-голяма или равна на другата.
Нека [tex]a\le b[/tex].
По- принцип от 1 до 505 има 505 различни възможности за [tex]a[/tex] и всички те дават различни стойности за лицето [tex]S=a.b[/tex].
Въпроса е как да го докажем!

Ще прибегнем до следната хитрост:


Нека [tex]a= \frac{1011}{2}-x[/tex], a [tex]b= \frac{1011}{2}+x[/tex], т.е. [tex]x \in \{ \frac{1}{2};1 \frac{1}{2};2 \frac{1}{2};...;504 \frac{1}{2}\}[/tex].


Тогава [tex]S=a.b=( \frac{1011}{2}-x )( \frac{1011}{2}+x)= (\frac{1011}{2})^2-x^2[/tex]


Последното означава, че различните стойности за [tex]x[/tex] дават съответно различни стойности за лицето.

Отговор : 505 различни стойности за лицето.

[pal702004]

За 2-ра.
Има три различни начина да се разреже един правоъгълник на 4 правоъгълника:
1. С три успоредни разреза - задачата няма краен брой решения.
Напр: $(1\times 4);(1\times 5;(1\times 6);(1\times n)$ където $n$ може да е всичко, да не говорим че и $1$ може да се замени с $a$: $(a\times (5-a)) \cdots $

2. Два успоредни и един перпендикулярен (след двата успоредни разреза получваме 3 правоъгълника и единия го режем на два перпендикулярно) - пак няма краен брой решения.

3. С два разреза - един хоризонтален и един вертикален - вероятно този се има предвид в задачата, защото само така имаме краен брой решения.

[ammornil]

2. Правогьлник разрязали на 4 малки правогьлника. Обиколките на три от тях са 10 см, 12 см и 14 см. Намерете обиколката на четвртия правогьлник. Посочете всички възможни отговори.

Горният пост дава обяснение защо има три случая за разглеждане. Разглежданията представляват нещо като ...

Скрит текст: покажи

(1)[tex][/tex]

Screenshot 2023-10-23 113836.png (13.6 KiB) Прегледано 725 пъти

[tex][/tex]
[tex]a_1+b=5, \hspace{1em} a_2 + b=6 , \hspace{1em} a_3+b=7 \\ a_1+a_2+a_3+a_4=a \Rightarrow 12 - 3b + a_4 =a \Rightarrow a_4 = a+3b-12 \Rightarrow P_{4}=2(a+3b-12 +b)=2a+8b-24 - \text{ безкраен брой решения.}[/tex]
(2)[tex][/tex]

Screenshot 2023-10-23 115209.png (12.12 KiB) Прегледано 725 пъти

[tex][/tex]
[tex]a_1+b_1=5, \hspace{1em} a_1+b_2=6, \hspace{1em} a_3+b=7 \\ a_2=a-a_1-a_3=a-5+b_1-6+b_2=a+b-11 \Rightarrow P_{4}=2(a+b-11+b)=2a+4b-22 - \text{ безкраен брой решения.}[/tex]
(3)[tex][/tex]

Screenshot 2023-10-23 120140.png (19.48 KiB) Прегледано 725 пъти

[tex][/tex]
[tex]a_1+b_1=5 \Leftrightarrow a_1=5-b_1, \hspace{1em} a_1+b_2=6 \Leftrightarrow b_2=6-a_1=1+b_1, \hspace{1em} a_2+b_1=7 \Leftrightarrow a_2=7-b_1 \\ P_{4}=2(a_2+b_2)=2(1+b_1+7-b_1)=2\cdot{8}=16cm- \text{ единствено решение.}[/tex]