Задачи-5 клас

[Гост]

Моля за помощ за няколко задачи за 5 клас!


зад.1
Учениците от един клас събирали в продължение на седем месеца пари за излет. Събрали 640лв. и 1 стотинка .
Колко са учениците и колко пари е внасял всеки ученик месечно , ако вноските на всички ученици са били еднакви ?

Тази задача я решихме така: 64001:7= 9143 стотинки , след това обаче не знаем как логически да изведем израз за намиране броя на учениците, а не опитвайки да делим различни числа
на 9143. Опитвайки ние стигнахме до 9143 (стотинки) :41 (ученици) = 223 стотинки , но това ли е начинът за решаване на тази задача , няма ли някакъв алгоритъм , а не опитване с различни
числа?

зад.2 Доказано, е че всяко просто число , по-голямо от 2 може да се запише като сума на две последователни естествени числа . Възможно ли е то да се запише като три последователни
естествени числа ?
зад.3 Да се намерят прости числа , които могат да се представят едновременно като сбор и разлика на две прости числа ?

[ammornil]

зад.1
Учениците от един клас събирали в продължение на седем месеца пари за излет. Събрали 640лв. и 1 стотинка .
Колко са учениците и колко пари е внасял всеки ученик месечно , ако вноските на всички ученици са били еднакви ?

Тази задача я решихме така: 64001:7= 9143 стотинки , след това обаче не знаем как логически да изведем израз за намиране броя на учениците, а не опитвайки да делим различни числа
на 9143. Опитвайки ние стигнахме до 9143 (стотинки) :41 (ученици) = 223 стотинки , но това ли е начинът за решаване на тази задача , няма ли някакъв алгоритъм , а не опитване с различни
числа?

Подходът Ви е правилен. Първо намираме парите, събрани за един месец. Разлагаме полученото число на множители. Виждаме, че има два множителя: 41 и 223.
Понеже не се казва какъв може да е максималния брой ученици, технически задачата има две решения: 41 ученика и всеки е внасял по 2 лева и 23 стотинки на месец ИЛИ 223 ученика и всеки е внасял по 41 стотинки на месец.

Броят на решенията зависи от броя прости множители на месечната сума.

[peyo]

... 9143 ... Виждаме, че има два множителя: 41 и 223. ...

И как го виждаме това? Ако това беше нещо лесно за забелязване, https нямаше да съществува.

[ammornil]

зад.2 Доказано, е че всяко просто число , по-голямо от 2 може да се запише като сума на две последователни естествени числа . Възможно ли е то да се запише като три последователни
естествени числа ?

Всяко просто число след 2 е нечетно, [tex]a=2k+1, k \in \mathbb{N} \Rightarrow a=2k+1=k+(k+1)[/tex]
Числата [tex]k[/tex] и [tex]k+1[/tex] са две поредни естествени числа [tex]\forall k \in \mathbb{N}[/tex]

Възможно ли е то да се запише като сума на три последователни естествени числа ?
[tex]a=k+(k+1)+(k+2), k \in \mathbb{N}, \Rightarrow a=3k+3=3(k+1)[/tex] винаги се дели на 3, а не всички прости числа се делят на 3, следователно не e възможно.

[ammornil]

зад.3 Да се намерят прости числа , които могат да се представят едновременно като сбор и разлика на две прости числа ?

Очевидно търсим прости числа по-големи от 2.
[tex]5=3+2=7-2[/tex] е единственото такова число, което може да се представи едновременно като сбор и разлика на прости числа.
Причината е, че всички прости числа след 2 са нечетни, поради което сборът и раликата им никога не са прости числа. Значи търсим три поредни прости числа, за които разликата между първите две е равна на 2, и разликата между вторите две е равна на 2. Има само една такава тройка: 3, 5, 7. Само числото 5 отговаря на посоченото изискване.

[ammornil]

И как го виждаме това? Ако това беше нещо лесно за забелязване, https нямаше да съществува.

Никъде не съм казал, че е лесно за забелязване.
Разлагането на множители може да бъде много трудоемко занимание. Всички прости множители на числата, които не са самопрости, са по-малки или равни на половината на числото. Обикновено проверяваме най-напред признаци за делимост на 2, 3, 5, 7. Ако няма такива множители, започваме да делим с всяко просто по реда на простите числа, и ако подминем половината на даденото число без да сме намерили точно делене, значи числото е самопросто. От последните цифри на даденото число, можем да определим на какви числа вероятно завършват делителите му, така че да съкратим листата с кандидати.

Код: Избери целия код

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541...

Аз идвам от поколение, което имаше на разположение калкулатор, а моите родители са правили всичко това на ръка. Понякога просто запряташ ракави и правиш каквото трябва, когато трябва, и както трябва.

п.с. За човек, който най-често предлага програмни решения на задачи, които не изискват това, ме учудвате с протеста си.

[Гост]

Много благодаря на "ammornil " за решенията и обясненията !

[Гост]

Извинявам се ,но в условието на втора задача е допусната неточност. Трябва да е " да се представи като СУМА на три последователни естествени числа" .



''Доказано, е че всяко просто число , по-голямо от 2 може да се запише като сума на две последователни естествени числа . Възможно ли е то да се запише като СУМА на три последователни
естествени числа ? ''