може ли изобщо да се реши

[Гост]

В деня на народните будители учениците от СУ „Каравелов“ се подредили по 15 в редица, но 4
ученици били извън строя. Когато ги строили по 21 в редица отново 4 останали извън строя. Когато ги
строили по 27 в редица, пак 4 останали. Накрая ги подредили в редица по 13 и всички ученици били строени.
Колко най-малко ученици са участвали в празника?

[pal702004]

Може разбира се.

[ptj]

Нека учениците са [tex]27x+4.[/tex]

Според условието [tex]21[/tex] дели [tex]27x \Leftrightarrow 21[/tex] дели [tex]6x\Leftrightarrow7[/tex] дели [tex]2x \Leftrightarrow 7[/tex] дели [tex]x[/tex].

Аналогично [tex]15[/tex] дели [tex]27x \Leftrightarrow 15[/tex] дели [tex]12x \Leftrightarrow 5[/tex] дели [tex]4x \Leftrightarrow 5[/tex] дели [tex]x[/tex].

[tex](5;7)=1 \Rightarrow 35[/tex] дели [tex]x \Leftrightarrow x=35k, k \in N[/tex].

Освен това [tex]27x+4\equiv 0 \pmod {13} \Leftrightarrow x+4 \equiv 0 \pmod{13} \Leftrightarrow x \equiv -4 \pmod {13}[/tex]

Понеже [tex]35 \equiv -4 \pmod {13}[/tex], то очевидно най-малката стойност е [tex]k=1[/tex].

Тогава всички уеници ще са [tex]27.35+4=949.[/tex]

П.П. Използвам срввнения, защото на вашата възраст преди 40 години можех да работя с тях.

[Гост]

$13x-4=НОК(15,21,27)=3.НОК(5,7,9)=3.5.7.9=945\Rightarrow13x=949,\ x\in\mathbb{N}$

За наш късмет 949 се дели на 13.

[pal702004]

За наш късмет 949 се дели на 13.

Това означава ли, ако не беше 13, ами например 17, нямаше да имаме късмет и задачата нямаше да има решение?

Скрит текст: покажи

Грешката е в първото уравнение. $13x-4$ не е равно на НОК(15,21,27), а се дели на НОК

[ammornil]

От кога конгруенции се учат в 5-6 клас?

[pal702004]

От кога конгруенции се учат в 5-6 клас?

Тук може без конгруенции, решаващите трябва да се сетят, че ако учениците са $x$, то $x-4$ се дели и на 15, и на 21, и на 27. (Не случайно остатъка е един и същ. Ако идеята за решаване беше само с конгруенции, те вероятно щяха да са различни). А НОК се учи в 5-6 клас. Тоест $x=945k+4$. без конгруенции. И тук вероятно авторите са имали предвид проверки за делимост на 13. Не случайно решението e при $k=1$, за да не се мъчат. Все пак задачата е олимпиадна. Ако го нямаше условието по модул 13, най-малкия отговор е $x=4$, което е и вярно, и тъпо.

[ptj]

От кога конгруенции се учат в 5-6 клас?

Никога не са се учили в стандартната програма. Аз имах предвид в програмата за подготовката за състезатели. Тя е доста по различна, защото на състезание може да използваш всяка теорема имаща доказателство, т.е. няма ограничение за използвания апарат за доказателство и намиране на решение на задачите.