задача от състезание

[Гост]

Моля ако някой има желание може ли да ми обясни принципа за решение на следния тип задачи:
Естественото число А е по-голямо от 1000 и по-малко от 2000. Дели се на 11, а при деление на 4, 5,
6 и 9 дава остатък 1. Числото А е ?

[Гост]

миналата седмица решавах същата задача
НОК{4,5,6,8}=180
180.6=1080, 180.7=1260, 180.8=1440, 180.9=1620, 180.10=1800, 180.11=1980 с остатък 1 тези числа са 1081,1261,1441,1621,1801,1981 от тях само 1441 се дели на 11 без остатък

[ptj]

Разлагането на прости множители на 4-те числа е [tex]4=2^2,5=5^1,6=2^1.3^1, 9=3^2[/tex].

Тяхното най-малко общо кратно е точно [tex]2^2.5^1.3^2=180[/tex].

Числата, даващи остатък 1, при деленинна 4,5,6 и 9 са от вида [tex]k.180+1 , (k \in N)[/tex].

[tex]k.180+1=16.k.11+4k+1[/tex], т.е. неговия остатък при деление на 11 е [tex]4k+1[/tex].

Остатъците на 4k за естествено k между 1 и 11 при деление на 11 са съответно (4,-3,1,5,-2,2,-5,-1,3,-4,0).

Съществено е, че винаги подобна група съдържа само различни един от друг остатъци и е циклична, а дължината на цикъла е някой делител на 11, т.е. при просто число това е самото число.

Естествено числата от вида [tex]4k+1[/tex] също имат цикличност на остатъците при деление на 11 и те са съответно [tex](5,-2,2,-5,-1,3,-4,0,4,-3,1)[/tex]

Тогава (заради горната цикличност) за дели 11 числото [tex]k.180+11[/tex] е небходимо [tex]k[/tex] да е от вида [tex]11s+8, (s \in N).[/tex]

Най-малкото такова e [tex]k=8[/tex], а съответно [tex]180k+1=1441[/tex].

За [tex]s \ge 1[/tex] , [tex]k \ge 11.1+18[/tex], a съответното [tex]180k+1 \ge 180.18+1>2000[/tex].